數學方法在物理中的應用

【摘 要】在物理學中，物理量之間的關系和物理變化規律，除了用文字敘述外，還可以用數學中的幾何圖形、方程、方程組，以及函數相應的圖像來描述。數學方法不僅可作為計算公式貫穿于物理量中，還可以廣泛用于推導公式、表達關系、描述規律，以它本身的邏輯作用和抽象作用來輔導物理概念和物理規律的形成。掌握物理學中的數學方法，是學好物理的關鍵之一。本文簡單論述數學方法在物理中的應用。

【關鍵詞】數學方法 幾何 方程 圖像 物理量

【中圖分類號】G712 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）12-0129-02

數學是一門非常重要的基礎科學。在理解物理概念、物理規律以及解決物理問題時，數學知識起著重要的工具作用。不論物理課程的學習或是物理實驗，都必須以數學功底作為理論基礎。如著名的物理學家牛頓，誰都可能看到蘋果落地，而他卻可以推導出萬有引力定律，正因為他有深厚的數學功底才發明了微積分，并且會運用數學解決物理問題，這才有了他的三大力學定律和萬有引力定律。著名的物理學家愛因斯坦，由于他有深厚的數學理論，導出了質能方程，提出了相對論。所以說偉大的物理學家也是數學家。隨著物理學的發展，概念越來越抽象，越來越需要利用數學方法。接下來，筆者就數學在物理中的應用問題做簡單論述。

一 幾何圖形與物理

在計算過程中，幾何圖形是解決問題的一個重要手段，它通過數形結合，直觀、形象地幫助解決問題。以以下例題來進行說明。

例1，如圖1所示，一直角斜槽（兩槽面間夾角為90°，兩槽面和豎直面的夾角均為45°），對水平面的傾角為θ，一個正方形的物塊沿斜槽勻速下滑，設兩槽面的材料相同，求物塊和槽面之間的動摩擦因數μ。

分析：解決上述問題的有效途徑就是把物理問題轉化為數學問題，有效地運用數學知識來解決物理問題。

求這個問題，先將立體圖像轉化為平面圖形求解，如圖2所示，正方形的物塊與直角斜槽兩個面接觸，故有兩個大小相等、方向對稱的彈力N，運用平行四邊形法則求出合力為 N，方向垂直斜槽底邊向上。建立力的示意圖，如圖3所示。根據力的分解建立方程組，有：

幾何在物理中的應用，主要是將幾何圖形在數學中證明與計算的思維方式潛移默化到物理中來，也就是在解決問題時，將物理量轉化為數學中的二維空間，簡化解決問題的方法。

二 方程與物理

方程在解決物理問題方面，是必不可缺的資源。數學中的方程種類眾多，而在中學階段，應用方程解決物理問題，主要是多元一次方程組，一元二次方程等。應用方程解決物理問題時，根據物理條件和物理規律，先建立方程，后根據方程求解，得出需求量。如上述例1。

在方程中還有一個特別的式子——判別式。判別式的應用：一元二次方程的解，是通過判別式來判定的，當△>0時，有兩個解；當△=0時，有一個解；當△<0時，無解。

例2，將物體以初速度20m/s豎直上拋，求物體經過離拋出點10m高處，所用時間是多少？（g=10m/s2）

分析：物體的運動過程是勻減速運動，利用勻減速運動規律，列一個一元二次方程，即可求。

關于運用方程解決物理問題，不勝枚舉，但是用方程表達物理量之間的關系及方程組解決物理問題時，一定要注意物理條件，在條件允許的情況下，可選用適當的數學公式。

三 函數圖像與物理

物理規律，大都是運用函數的形式來表示。函數的圖像在物理中如果運用適當，會如魚得水，妙處無窮。根據物理條件、物理規律寫出函數，畫出函數圖像，確定函數定義域和值域，以及方向性，把物理問題轉化為數學問題，通過數形結合，形象、直觀地反映物理過程，加深人們對物理規律的理解。函數圖像，在物理中的運用有兩個方面。

1.分析實驗數據，得出物理規律

在物理實驗中，進行數據分析：一種是計算法，另一種是圖像法。而后一種更被人們認可。因為有些實驗數據，無法通過計算，得到兩個量之間的關系。而圖像法，以兩個量分別為兩條坐標軸，建立直角坐標，描點畫出圖像，就可以通過圖像，定性或定量分析它們之間的關系，得出規律。所以函數圖像在實驗數據分析中起重要作用。

2.運用函數圖像，解決物理問題

函數圖像在解決物理問題時，將物理規律、物理量之間的關系用圖像表達出來，可以化難為易，化復雜為簡單，起到事半功倍的效果，是研究物理問題，進行科學抽象和思維推理的得力工具。

例3，做勻變速直線運動的物體，在某一段時間內，經過中點時刻的速度和經過中點位置的速度，哪個大。

分析：解題可以用兩種方法：一是先設初、末速度，再根據經過中點時刻的速度v1與經過中點位置的速度v2分別跟初、末速度的關系，列方程，然后，運用不等式求解。這種辦法要大費周折，才能求解。還有一種辦法就是作出圖像，作出速度與時間的圖像，如圖4、圖5兩種情況，顯然是中點時刻的速度小于中點位置的速度，從圖像看，直觀而形象。

綜上所述，許多基礎物理概念，常必須依靠數學方法來加以詮釋。在物理中應用數學方法求解問題，是多種多樣的，同一個物理過程可以用兩種或多種方法解決，關鍵在于把物理意義和數學方法巧妙地融合為一體，才能收到較好的效果。由于事物的多樣性和復雜性及物理與數學學科的相互滲透和交叉，故在學習中應注意利用有關的數學知識解決物理問題，以培養自己正確分析物理過程和運用數學工具解決物理問題的能力。

〔責任編輯：李冰〕