材料力學教學中加強高等數學知識的運用，培養學生科學思維能力

[摘 要]在材料力學教學中加強數學知識的聯系和運用，一方面能夠幫助學生鞏固數學知識，提高運用數學知識解決力學問題的能力，另一方面基礎課與技術基礎課之間前后呼應的教學方式可以調動學生思維的積極性，有利于培養學生科學思維能力。

[關鍵詞]材料力學 高等數學 科學思維

[中圖分類號] G642.0 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）23-0058-02

一、引言

在材料力學教學中，往往要用到許多數學知識。如何引導學生將所學到的知識應用到新的學習中去，如何培養學生具有良好的數學修養，單純靠高等數學一門功課的學習是遠遠不夠的。高等數學課程給學生奠定了數學基礎，但大部分同學會感到，學習這么多的數學知識用在何處？材料力學作為機械類專業的技術基礎課程，在基礎課與專業課的學習中起到“橋梁”的作用，對專業課的學習有著舉足輕重的地位。如果教師在教學過程中能夠很好地將數學知識與所學的力學知識聯系起來，一方面能夠幫助學生鞏固數學知識，提高學生運用數學知識的能力，另一方面也使力學教學達到承前啟后的作用，活躍了課堂教學氣氛，從而激發學生學習的興趣，培養了學生的科學思維能力。

二、利用函數曲線與一階導數、二階導數的關系，快速畫出梁的內力圖

在材料力學[1]的教學中，作桿件的內力圖貫穿了材料力學教學過程的始終。而在所有的內力圖中，尤以彎曲變形的內力圖比較繁雜，但也不是沒有規律可循。梁在工作時受到的外力分為：集中載荷、分布載荷。在授課過程中，以高等數學中函數與一階導數、二階導數之間的關系為基礎，引導學生分析在每一種載荷作用下梁的內力圖的變化規律，進而利用這些規律快速作出梁的內力圖，從而找到梁的危險面。

（一）函數曲線與一階導數、二階導數之間的關系

由高等數學[2]可知：在自變量的某區間內，函數的一階導數大于零，函數單調上升；一階導數小于零，函數單調下降；一階導數等于零（駐點）處，函數可能取得極值；如果在駐點函數的二階導數大于零，函數曲線呈凹弧；函數的二階導數小于零，函數曲線呈凸弧；在函數的二階導數等于零處，如果該點的左右兩側二階導數改變符號，該點成為函數曲線的拐點。

（二）材料力學中彎矩、剪力、分布載荷之間的微分關系的利用

在材料力學中彎矩、剪力、分布載荷三者之間的微分關系是：■=Q（x），■=q（x），■=q（x）（代表任意截面的位置）。

基于以上微分關系，在教學中總結出以下幾點要訣，幫助學生快速掌握微分關系畫圖的技巧。

1.簡支梁的兩端、懸臂梁的自由端，剪力的大小就是該處支座反力或集中載荷的大小；方向滿足“左上右下”；如果該處沒有外力偶，那么該處的彎矩一定為零。

2.均布載荷等于零的一段梁內：剪力圖形狀為水平直線，彎矩圖形狀為斜直線；剪力大于零，彎矩圖上升；剪力小于零，彎矩下降；剪力等于零的一段梁上，彎矩圖保持水平。

3.分布載荷不為零的一段梁內：分布載荷向上，剪力圖為上升的直線，彎矩圖為凹弧；分布載荷向下，剪力圖為下降的直線，彎矩圖為凸弧。

彎矩圖與分均布載荷方向之間的關系為：“下雨天打傘”（圖1）。把均布載荷比喻是濛濛細雨，而彎矩圖正是自己在濛濛細雨下撐的一把油紙傘，永遠保護自己不受風雨的侵襲。

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4.在剪力圖的直線上升或直線下降中，即剪力由大于零到小于零或由小于零到大于零的變化過程中，必然經過剪力等于零的一截面，在該截面處，彎矩取得極值。如果剪力圖由大于零到小于零，彎矩圖在該截面處取得極大值；如果剪力圖由小于零到大于零，彎矩圖在該截面處取得極小值。

5.在集中力作用面的左右兩截面處，剪力圖發生突變，突變量即是集中力的大小。集中力向上，剪力圖上突；集中力向下，剪力圖下突。在該截面處彎矩圖發生轉折。

6.外力偶作用面的左右兩側截面上彎矩圖發生突變，順時針的外力偶彎矩圖上突；逆時針的外力偶彎矩圖下突。突變量為外力偶矩的大小。在該截面處剪力圖保持不變。

三、應用極值的概念求力學的最優解，引進優化設計的思想

根據高等數學[3]可知：函數的最大值或最小值可能發生在函數的駐點上，也可能發生在區間的兩端點上。在實際問題中，根據問題的本身可以斷定所求的量一定存在一個最優解，而且該最優解一定在自變量的定義域內取得。那么如果函數的一階導數y′=0在定義域內只有一個根，那么該根一定是函數的最優解。

在教學過程中，遇到最優解的問題時，我們的做法是引導學生分清誰是自變量誰是函數，然后通過力學知識把函數與自變量之間的關系正確表達出來，再通過函數的一階導數為零，得到函數的駐點，從而求得最優解。

例如：從直徑為d的圓木中鋸出矩形截面梁（圖2），使梁承受彎曲正應力，梁的高寬比為多大時，矩形截面梁的抗彎曲能力最強？

根據材料力學知識，梁的抗彎能力越強，抗彎截面系數應越大。故取抗彎截面系數W為函數，高寬比（α=■）為變量。由材料力學知：矩形截面梁的抗彎截面系數為W=■。引入以下兩式α=■，b2+h2=d2有：

w=■。

函數對變量取一階導數，同時令一階導數等于零，有：

■=■■=0。

求解得到α=■。即矩形截面梁的高寬比為■時，梁的抗彎能力最強。這也就是工程中的優化設計思想的初步形成。

四、利用平面法向向量概念判定構件在外力偶作用下產生的變形形式

在材料力學中，學生完成扭轉、彎曲等基本變形的學習后，隨即進入構件的復雜變形的學習。在外力偶的作用下，構件發生扭轉變形還是彎曲變形，常常使初學者感到困惑。在課堂教學中，引入平面的法向向量概念來區分力偶使構件產生扭轉變形還是彎曲變形，會使學生在分析復雜變形時進入柳暗花明的境界。

在教學中把力偶都看作是矢量，方向用“右手定則”來確定。四指順力偶的方向握，拇指的指向即為力偶矩矢的方向。當拇指的指向與所判定段的橫截面的法向向量（或軸線）平行時，力偶使該段產生扭轉變形；當拇指的方向與所判定段的橫截面的法向向量（或軸線）垂直時，力偶使該段產生彎曲變形；當拇指的方向與所判定段的橫截面的法向向量（或軸線）既不平行也不垂直時，力偶使該段產生彎扭組合變形。

如：平面剛架在A端作用有外力偶M，判斷剛架的每一段發生何種變形（圖3）。應用“右手定則”，四指順力偶M的方向握。對于AB段來說，拇指與該段截面的法向向量（軸線）重合，力偶M使AB段產生扭轉變形；對于BC段，拇指與軸線垂直，故力偶M使BC段產生彎曲變形。

五、結語

作者的實踐教學證明，在力學教學中加強數學知識的聯系和運用，能夠幫助學生鞏固數學知識，使得學生對所學過知識有一個總體的脈絡梳理，對學到的知識的運用充滿信心，完全摒棄了“學了有什么用”的迷茫狀態。這種基礎課與技術基礎課之間前后呼應的教學方式調動了學生積極思考、主動思維的積極性，活躍了力學課堂的教學氣氛，提高了課堂學習效率。但在教學過程中要注意把握住以下兩點：1.數學、力學之間靈活把握，巧妙處理。力學教學還是以接受力學知識為主導，要求教師能夠用通俗易懂、靈活的思維將數學知識帶進力學教學中，而不能占據大量的力學教學時間；2.力學、數學知識點的對應要恰到好處，避免把學生帶入數學沒用好，力學又沒學明白的誤區，造成事倍功半的不良后果。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 哈爾濱工業大學理論力學教研組[M].理論力學第七版.北京：高等教育出版社，2009.

[2] 劉鴻文.材料力學第四版[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3] 陳慶華.高等數學[M].北京：人民教育出版社，1998.

[4] 同濟大學高等數學教研室.高等數學[M].北京：人民教育出版社，1983.

[責任編輯：林志恒]