例析化歸與轉化思想在數學解題中的活用

【摘 要】化歸與轉化思想的實質是揭示聯系，實現轉化。除極簡單的數學問題外，每個數學問題的解決都是通過轉化為已知的問題來實現的。對于某些數學問題，如果我們能靈活運用化歸與轉化思想進行求解，往往可以避開一些抽象復雜的運算，降低解題難度，還可以優化解題思路，收到事半功倍的效果。

【關鍵詞】化歸與轉化思想 中學數學解題教學 活用

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）25-0120-04

化歸與轉化思想，就是在研究和解決數學問題時采用某種方式，借助某種函數性質、圖像、公式或已知條件將問題通過變換加以轉化，進而形成解決問題的思想。等價轉化有一些模式可以遵循，總是將抽象轉化為具體、化復雜為簡單（高維向低維的轉化、多元向一元的轉化、高次向低次的轉化等）、化未知為已知。

化歸與轉化思想的實質是揭示聯系，實現轉化。除極簡單的數學問題外，每個數學問題的解決都是通過轉化為已知的問題實現的。從這個意義上講，解決數學問題就是從未知向已知轉化的過程，是一步步轉化的過程。等價轉化思想在歷年的高考中都有體現。下面是筆者嘗試將化歸與轉化思想和方法滲透融合在解題教學中，實現方法與內容的整合。

一 一般問題與特殊問題的化歸

特殊問題往往比一般問題顯得簡單、直觀和具體，容易解決，并且在特殊問題的解決過程中，常常包含著一般問題的解決方法。有些數學問題由于其特殊數量或位置關系，孤立地考查問題本身，造成我們“只見樹木不見森林”，難以解決。因此解題時，我們常常將一般問題與特殊問題進行轉化。

評注：本題化抽象為具體，設出等差數列的通項，再針對客觀選擇題題型的特點，結合選項選取特殊值，這種解法體現出思維的靈活性和敏捷性。

例2：（2012年山東）如圖1所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別為線段AA1、B1C上的點，則三棱錐D1-EDF的體積為 。

解析：雖然E、F分別為線段AA1、B1C上的任意點，但從題設可以得到這樣的信息：盡管三棱錐的“形狀”不定，而其體積應為定值，所以可以針對E、F的某一特定位置進行求解，而不失一般性。取E、F分別位于A、C的特殊位

評注：當問題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的不定量用特殊值代替，利用一般到特殊的轉化就能收到事半功倍的效果。

二 正向思維與逆向思維的化歸

在數學解題中，通常的思維方式是從已知到結論，然而有些數學題按照這種思維方式解則比較困難，而且常常運算量較大，有時甚至無法解決。在這種情況下，要多注意定理、公式、規律性例題的逆用，正難則反往往可以使問題更簡單。

分析：對于一些含否定性的詞語（如不可能，不是）的結論，往往從正面突破難度大，此時不妨從反面入手，利用反證法進行推理論證就可化難為易。

A，若C為線段AB的中點，則λ= ，不符合 ，

同理可知選項B不成立；對于選項C，若點C、D同時在線

與已知矛盾；故選D。

點評：本題直接入手有“山重水復”的困惑，用反向思維求解將獲得“柳暗花明”的喜悅。

三 命題與等價命題的化歸

由命題A（或問題A）可推出命題B（或問題B），反之，命題B（或問題B）亦可推出命題A（或問題A）。即A與B互為充要條件時，稱為A與B等價。利用這種等價性將原命題（或原問題）轉化成易于處理的新命題（或新問題）的方法可以把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題。

評注：（1）命題“﹁p是﹁q的必要不充分條件”等價于“p是q的充分不必要條件”，一步步轉化為集合A與集合B的關系，從而確定出關于m的不等式組，使問題得到解決。

（2）通過等價轉化，化生為熟，將兩圓的位置關系轉化為圓心距關系，然后化歸為點到直線的距離，最終求出最值，從而降低了解題難度。

四 數形結合的化歸

數學家拉格朗日說：“只要代數與幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄，但是當兩門科學結合成伴侶，它們就相互吸取新鮮活力，就以快速的步伐走向完善。”

數形結合思想，就是把問題的數量關系和空間形式結合起來進行考查的思想。其實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，通過對圖形的處理，發揮直觀對抽象的支柱作用，實現抽象概念與具體形象、表象的聯系和轉化，化難為易、化抽象為直觀。即根據解決問題的需要，可以把數量關系的問題轉化為圖形的性質和特征去研究，或把圖形的性質問題轉化為數量關系的問題去研究。

1.代數問題幾何化——以形助數

以形助數就是根據數學問題中“數”的結構，構造出與之相應的幾何圖形，并利用幾何圖形的特征、規律來研究解決問題，這樣可以化抽象為直觀，易于顯露出問題的內在聯系，同時借助幾何圖形直觀審題，還可以避免一些復雜的數字討論。“以形助數”中的“形”，或有形或無形。若有形，則可為圖表與模型；若無形，則可另行構造或聯想。因此“以形助數”的途徑有三種：（1）運用圖形；（2）構造圖形；（3）借助于代數式的幾何意義。

評注：（1）本題將抽象函數轉化為圖形語言，直觀且容易獲得結果。（2）本題中參數比較多，如果采用代數法很

難求解。如果利用 的幾何意義，視為直線的斜率，就可以

利用線性規劃知識求解，這就將一個看似非常復雜的問題化為一個簡單的直觀問題，就輕而易舉地解決了。

2.幾何問題代數化——以數輔形

以數輔形就是根據幾何圖形的特征，建立直角坐標系（或空間直角坐標系），構造出與之相應的代數方程或函數解析式，并利用代數方程的運算來求解幾何問題，運用代數方法研究幾何問題。以數輔形中的“數”一般是坐標的運算，因此以數輔形的途徑大體有三種：（1）函數；（2）向量法；（3）解析幾何。

五 函數、方程、不等式的轉化

在解決函數、方程、不等式問題時，我們經常利用三者的聯系進行轉化。若將變量間的等量關系看成函數關系，則可以將等量關系式轉化成函數，這時活用函數的有關性質（值域、與坐標軸交點情形等）就可解決問題；若將等量關系式看成關于某個未知量的方程，則利用解方程或考慮根的情形可求得變量；若可將變量間的不等量關系式看成關于某個未知量的不等式，則解這個不等式可求得這個變量的取值范圍。

評注：本題將不等式恒成立問題轉化為函數的最值問題，然后通過導數判斷單調性，求出最值。在多個字母變量的問題中，選準“主元”往往是解題的關鍵。一般地，在一個含有多個變量的數學問題中，確定合適的變量和參數，從而揭示函數關系，使問題更明朗化。或含有參數的函數中，將函數自變量作為參數，而參數作為函數，更具有靈活性，從而巧妙地解決有關問題。

六 動與靜的轉化

解析：如圖6所示，設正n棱錐為S-A1A2A3…An，由于n多變，所以底面正n邊形、側面出現不確定狀態，這樣導致直接分析求解將很困難，甚至是“到而不達”，若另辟蹊徑，采用動靜結合法，則解法將會簡捷、易行，其計算量得到極大的簡化。

本例題中底面正n邊形固定，而棱錐的高不定，故可將頂點S看作是運動變化的，設相鄰兩側面所成的二面角的平面角為∠A2HAn。當點S向下運動無限趨近底面正n邊形的中心極限位置時，∠A2HAn趨于平角π；當點S向上運動趨于無窮遠時，側棱將無限趨于與底面垂直，即正n棱錐趨近于正n棱柱，此時∠A2HAn無限趨于底面正n邊形的內角

評注：“化靜為動，以動制靜”，利用運動和變化的觀點，著眼于問題的極限狀態，摒棄了繁瑣的數學運算，使所研究的問題更加直觀、明朗。因此，根據問題的不同條件和特點，合理選擇運算途徑是提高運算能力的關鍵，而靈活利用動與靜的轉化思想就成為減少運算量的一條重要途徑。

七 有限與無限的轉化

從有限到無限、從近似到精確、從量變到質變，應用極限思想解決某些問題，可以避開抽象、復雜的運算，降低解題難度，優化解題過程。尤其是在選擇題中，有一些任意選取或變化的元素，我們對這些元素的變化趨勢進行研究，分析它們的極限情況或極端位置，并進行估算，往往會收到準確、迅速的效果。

點評：用極限法是解選擇題的一種有效方法。它根據題干及選項的特征，考慮極端情形，有助于縮小選擇面，迅速找到答案。

在高考中，對化歸與轉化思想的考查，總是結合對演繹證明、運算推理、模式構建等理性思維能力的考查進行，因此，高考中的每一道試題，都在考查化歸意識和轉化能力。

總之，化歸與轉化思想是中學數學教學的重要內容之一，這些思想方法是解題策略的根基，教師應有意識地在每節課中滲透數學思想，讓學生親身體會這些思想方法的強大功能，然后自覺地運用，并能將它們綜合在一起處理較復雜的問題，這樣才能既置身于題中，又超脫于題外，不受“題海”所羈絆，讓思想之花越開越茂盛。

〔責任編輯：李爽〕