立體幾何的勤思巧想活運(yùn)用

【摘 要】空間立體幾何是數(shù)學(xué)將空間中的實(shí)物抽象地簡化在量的角度上，便于空間研究的一門重要理論學(xué)科。它培養(yǎng)的是學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力。

【關(guān)鍵詞】立體幾何 思維模式 技巧

【中圖分類號(hào)】G634 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2013）08-0033-02

從初中的三視圖起到高中的空間向量、立體幾何都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重中之重。然而，對(duì)大部分學(xué)生來說，立體幾何的學(xué)習(xí)總是困難重重。授之以魚，不如授之以漁。每個(gè)人都有一定的先天的空間想象能力，要增強(qiáng)學(xué)生的空間能力，這就需要有一種正確的方法去引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“看”，學(xué)會(huì)“空間語言”，學(xué)會(huì)“在空間媒介中進(jìn)行思考”。“若世上存在限制，這個(gè)限制便是自身的想象力。”這是美國《發(fā)現(xiàn)》節(jié)目的一句經(jīng)典解說詞，幾何的學(xué)習(xí)正是這樣，很多時(shí)候并不是看到的那樣，而是在觀察、猜想、想象之后再在驗(yàn)證中得出結(jié)論；立體幾何是我們?cè)谌S空間里，在大腦的配合下對(duì)看到的實(shí)物進(jìn)行判斷，抽象而成的。正如，美國心理學(xué)家威廉·詹姆斯說過的一樣：“我們感知的一部分來自我們眼前的直觀事物，也許更大一部分來自我們的大腦”。

現(xiàn)在的立體幾何教學(xué)應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力為主，開發(fā)學(xué)生的理性思維能力，讓大腦習(xí)慣幾何思考，對(duì)學(xué)好立體幾何來說尤為重要。

一 靜動(dòng)結(jié)合思維，折疊問題小方法

例1：圖1表示的是不尋常的剪刀，要使剪裁部分接近，請(qǐng)確定一下，需要接近還是拉開剪刀帶環(huán)的兩端。

這道題既考查了學(xué)生的想象力，也注重了思考的重要性。“靜變定動(dòng)，動(dòng)靜結(jié)合，以不變應(yīng)萬變”，是解這道題的方法。顧名思義，就是將靜的圖形按題目要求變一下，固定一個(gè)地方，讓圖形在大腦中以固定一處開始變動(dòng)。如例1中的剪刀，都是現(xiàn)實(shí)生活中所沒有的模型，我們此時(shí)就可以利用以上的這種空間想象的原理，假設(shè)剪刀虎口處為固定點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)剪刀，即可得出答案，此題本身難度不是很大，但設(shè)計(jì)卻很巧妙，需要有一定的空間想象能力以及縝密的邏輯思維，此題有利于學(xué)生空間思維能力的提高。

二 形、思，二位一體，解視圖問題

在立體幾何的學(xué)習(xí)中，很多學(xué)生頭疼三視圖的問題或復(fù)雜的幾何圖形問題，這時(shí)，我們可以試著找一找?guī)缀螆D形在生活中的原型、實(shí)物，利用實(shí)物模型是在立體幾何學(xué)習(xí)中一種很傳統(tǒng)，也很普遍的方法，從直觀的實(shí)物出發(fā)，發(fā)散思維，從形到思，解決問題。下面我們就利用這種方法來解決一個(gè)實(shí)際的數(shù)學(xué)幾何問題。

例2：（2012江蘇高考）見圖2所示，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB=AD=3cm，AA′=2cm，則四棱錐A-D′DBB′的體積為____cm3。

例3：（合肥市2009年高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）用若干個(gè)棱長為1的正方體搭成一個(gè)幾何體，其主側(cè)視圖見圖3所示，對(duì)于這個(gè)幾何體下列說法正確的是（ ）。

A、這個(gè)幾何體的體積一定是7；

B、這個(gè)幾何體的體積一定是10；

C、這個(gè)幾何體的體積最小值是6，最大值是10；

D、這個(gè)幾何體的體積最小值是7，最大值是11。

解析：這是兩道很好的例題，題目新穎、出題簡單，都可以借助模型拓展想象力，如例2我們會(huì)習(xí)慣性地以墻角為基本模型構(gòu)造立體長方體，然后利用空間想象能力在大腦中構(gòu)造四棱錐得出體積，也可以用長方體體積減去其他部分體積得出，方法很多，關(guān)鍵是要讀懂圖。又如例3題中只有主、側(cè)視圖。因此該圖組成個(gè)數(shù)不唯一，由圖得知第二、三層各有一個(gè)，最底層最多有9個(gè)、最少有3個(gè)，故答案應(yīng)是這個(gè)幾何體的體積最小值是5，最大值是11。雖然這道題出了錯(cuò)，但它很巧妙地讓考生鍛煉了空間想象能力，開闊了思路，關(guān)鍵在于思考點(diǎn)設(shè)計(jì)得很巧。若將D選項(xiàng)改一下，這道題就完美了。但因?yàn)橛腥毕荩沧屛覀兠靼紫敕ㄊ遣皇茴}目的限制的，思維不定才會(huì)讓幾何富有趣味。

三 魔方思維，不一樣的思路達(dá)到最終的成功

魔方是由立方體演變而來的，但它的思維力度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于簡單的立方體，空間幾何同樣如此：幾何圖形變化萬千，而模型簡單而有限，所以，我們必須要鍛煉的是面對(duì)不規(guī)則圖形時(shí)多方位思考，將幾何知識(shí)綜合“活”運(yùn)用。

例4：（2012年天津高考）如圖4所示，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PD=AD=2，AC=1。（1）證明PC⊥AD；（2）求二面角A-PC-D的正弦值。

例5：（2010年遼寧高考）有4根長都為2的直鐵條，若再選2根長都為a的直鐵條，使6根直鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形鐵架，則a的取值范圍是（ ）。

A、（0， + ） B、（1，2 ）

C、（ - ， + ） D、（0，2 ）

例4是一個(gè)綜合性很強(qiáng)的題，給出簡單必要條件，該題可用線面關(guān)系解出，但由于圖形本身的限制，作輔助線之類，不易作出，同時(shí)也不好理解，而且如果條件過多，反而會(huì)讓圖像過于混亂。此時(shí)，我們便可以利用空間向量，將圖形“量”化，假設(shè)以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD、AC、AP分別為X、Y、Z軸，然后利用空間向量的計(jì)算，即可簡易地得出答案，這種方法更有助于集合基礎(chǔ)證明或計(jì)算的理解。兩種方法，一種直接利用線面關(guān)系，一種利用空間向量，都可以很好地解決問題。在考場(chǎng)中，為了節(jié)約時(shí)間，如果對(duì)幾何關(guān)系不是完全了解的話，第二種方法可以更好地提高準(zhǔn)確率。所以看到一道題，你可以有很多種思路，但要選擇最優(yōu)路線，解決問題才是關(guān)鍵。

例5是一個(gè)求解范圍的立體幾何問題，這種類型與生活聯(lián)系較緊密，題很靈活，所以應(yīng)擴(kuò)大考慮層面，多角度、細(xì)致考慮，從最值看起，從特殊到普通，從個(gè)例到一般，簡化問題，去繁從簡，即可用排除法從選項(xiàng)中選中正確答案。

四 結(jié)束語

立體幾何的學(xué)習(xí)，不僅僅是對(duì)數(shù)學(xué)的理解，更是對(duì)生活的想象，在學(xué)習(xí)立體幾何的過程中，不僅要牢記基礎(chǔ)定理、公式，還要盡可能地發(fā)展個(gè)人想象力，動(dòng)靜結(jié)合，形思一體，發(fā)散思維，多角度認(rèn)識(shí)問題、解決問題，在學(xué)習(xí)的過程中不斷改進(jìn)，從而找到一套更適合自己的立體幾何學(xué)習(xí)方法，勤思巧想活運(yùn)用。

參考文獻(xiàn)

[1]劉培杰數(shù)學(xué)工作室組織編譯.發(fā)展空間想象力[M]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2010

〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕