實變函數論課程教學改革的幾點體會

【摘 要】本文針對實變函數論課堂的特點，結合筆者自身的教學經驗，提出了該課程課堂教學改革的幾點體會，以期對提高該課程的教學質量起到一定的促進和交流作用。

【關鍵詞】實變函數論 Lebesgue積分 教學改革

【中圖分類號】O174.1 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）08-0026-02

實變函數論是數學與應用數學專業的一門重要基礎課，主要由法國數學家Lebesgue在l9世紀末20世紀初創立。它是普通微積分學的繼續，其目的是為了克服牛頓和萊布尼茲所建立的黎曼積分存在的缺點，使得微分和積分的運算更加對稱、更加完美。它的任務是使學生掌握近代抽象分析的基本思想、提高抽象思維和數學表達能力，加深對數學分析知識的理解，深化對中學數學有關內容的認識。課程主要內容是以點集為基礎的集合論、Lebesgue測度論與可測函數以及Lebesgue積分論。

該課程是學習現代數學的基石，是連接近代數學與現代數學的橋梁。該課程的特點是：概念性強、理論精密、內容抽象且嚴謹、應用廣泛；該門課程幾乎沒有什么計算，其內容就是由概念、定理與推論所組成的一個理論體系，往往是介紹了某個概念之后，接著是一連串的定理、推論及晦澀、難懂的證明。介紹的概念有較強的抽象性、突然性和高度的概括性，較難理解。定理證明過程技巧性高、邏輯性強、難度大，課后的習題基本上是一些結論應用的證明題，有的甚至是某個結論的延伸，解題有較高的技巧性和難度，所以該門課程的特點可以概括為：抽象、枯燥、難懂。為更好地促進該課程的教學，周其生在分析實變函數課程教學中容易產生的問題以及學生學習這門課程常見困難的基礎上，對這門課程教改的做法提出了幾點探討。許靜波和張國芳在教學模式上進行了一些改革嘗試。蘭堯堯探討了有關實變函數教學的方法。在本文，筆者結合自身的教學經驗，給出了幾點教學上的體會。

一 教學體會

1.精簡傳統內容，滲透現代教學觀點

遵循“少而精，寬而淺”的基本原則，采用逐步滲透現代數學觀點、知識的方式。具體對集合與基數的內容要精講，半序的內容簡述；重點介紹Lebesgue測度的基本內容，對一般測度論、復測度論知識不做具體要求；可測函數論中的魯金函數論思想應重點介紹，可測函數列的收斂關系應展開討論，Lebesgue積分與（R）積分的關系，重積分及微分理論宜要求泛而不精。

2.趣味性教學，改變傳統教學方法

實變函數論課程給學生的印象就是： 難懂、抽象、枯燥。要高質量地完成該課程的教學，就需要教師從教學方法上下工夫，增加趣味性，減少枯燥性，激發學生的學習熱情。

第一，趣味教學，激發學習熱情。授課過程中，通過列舉一些與生活相關的實例來闡明一些抽象、含混晦澀的定理和定義。

例如：第一章第五節中“不可數集合中有一個定理”是為了說明不可數集合中沒有最大的基數，只有更大的基數。那么在證明這個定理時，學生們存在兩個難懂的問題：第一個，不理解集合的元素和集合的子集存在的對應關系，這時，可以采取一個蘋果和一堆蘋果進行比較學習。第二個，不理解證明采用的悖論，可以給學生們舉例：一位理發師聲稱他的工作是給本鎮上所有不給自己刮臉的人刮臉；同時，他絕不給那些給自己刮臉的人刮臉。忽然有一天早上，當他將要給自己刮臉時，想到一個問題：“我該不該給自己刮臉呢？”——理發師的悖論，它同這個證明的思想是完全一致的。因為如果他給自己刮臉，則據他聲稱的前一半，他不應給自己刮臉；但如果他不給自己刮臉，則據他聲稱的后一半，他又應給自己刮。于是，理發師陷入矛盾之中，學生不僅被這個故事引得哄堂大笑，還從中領會了“矛盾律”的深刻內涵。收到的效果遠遠超出對這個定理的抽象證明。

又如，為了幫助學生理解無限與有限的本質，在建立（a，b）于[a，b]之間的一一對應關系的時候，乍一看，這明顯不能構成對等關系。怎么辦呢？這時引導學生們思考：把區間中的元素找出來。此時，都會把區間中的有理數列出來，因為它是可數的；然后把開區間的有理數與（a，b）以及[a，b]中的有理數去配對，由于無限集合的特點，我們可以構成它們之間的對應的關系。剩下就是（a，b）中的無理數與無理數對應了。

以Lebesgue 本人的一個生動形象的描述：“我必須償還一筆錢，如果我從口袋中隨意地摸出來各種不同面值的鈔票，逐一地還給債主直到全部還清，這就是黎曼積分，不過我還有另外一種做法，就是把錢全部拿出來并把相同面值的鈔票放在一起，然后再一起付給應還的數目，這就是我的積分”來介紹Lebesgue積分與Riemann積分的區別時，這樣學生們更容易理解，又容易掌握兩種積分的區別。

第二，采用多種教學方法，講與學相結合，多媒體輔助教學。將現代教學手段應用于本課程的教學中，發揮多媒體的直觀性和形象性，通過用特殊情況下的圖形來幫助理解抽象的東西，如一般集合中的許多結論，先用區域或某些特殊圖形來理解它，就可猜測出其結果，然后再去證明。通過選取適當章節讓學生自學，組織學生開展討論，教師參與質疑，引導學生變被動為主動；開展開放式教學，拓寬教學形式。

第三，改變傳統的作業模式，讓學生自己成為作業的主人。以往的教學中，都是教師每講完一節或一章，布置一定數量的習題，讓學生們課后完成。然后老師批改，針對作業中存在的問題在課堂上予以講解。但現在學生們手中的習題資料很多，網絡資源豐富。抄襲作業的情況不時會出現，因此從作業中無法反映他們的學習情況。此時，可以讓學生自己當作業的主人，每章結束后抽取一定數量的有代表性的習題，讓學生們先準備，然后由他們來講解。這樣，既可以鍛煉學生的膽量，又可檢查學習的情況，同時能調動學生學習的積極性。

第四，培養學生們的創新意識，加強數學應用思維訓練。實變函數中的Lebesgue積分就是在黎曼積分的思想上，通過逆向思維得出的，在教學過程中，充分抓住這一核心，有意識地培養學生的創新意識。在講解完基數后，在基數a和c中是否還有別的基數，讓學生們思考，有意識地加強數學思維。

二 結束語

本文總結了實變函數論這一經典課程在課堂教學中的幾點體會。在教學實踐中還會有許多新問題出現，需要根據不同的實踐情況隨時調整教學方法。

參考文獻

[1]程其襄、張奠宙.實變函數與泛函分析基礎（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003

[2]周其生.《實變函數》課程教學改革初探[J].安慶師范學院學報（自然科學版），2000（2）：44～46

〔責任編輯：龐遠燕〕