過圓外一點的切線方程的幾種求法

摘 要 過圓x-a■+y-b■=r■外一點px■，y■作圓的切線有兩條，求切線方程可從五個方面入手：相切的定義；相切的幾何意義；轉化與化歸；三角參數；坐標平移轉化。

關鍵詞 圓；切線；轉化；化歸；參數；平移

眾所周知過已知圓圓上一點有且只有一條切線，而且可以利用公式直接寫切線方程。那么，過圓x-a■+y-b■=r■ 外一點 px■，y■作圓的切線有兩條，如何求切線方程呢？下面以一道習題來分析：

例：從點 p-2，-1向圓x■+y■-4x+2y+1=0引切線，求切點坐標與切線方程。

解法一：判別式法。不妨設切線的斜率存在，記作k ，

那么過點 p-2，-1 的直線方程為：y+1=kx+2，

由y+1=kx+2 x■-4x+y+1■=0，得1+k■x■+4k■-1x+4k■=0

由直線與圓相切有，△=16k■-1-16k■1+k■=0，解得k=±■

此時切點的橫坐標為x=-■=1，將x=1代入圓的方程，解得y=-1+■，

即切點坐標為1，-1+■，1，-1-■ 。

將k=±■代入，得兩條切線方程為：x-■y+2-■=0，x+■y+2+■=0。

點評：此法從相切的定義得到（有且只有一個公共點）。但要注意，若求得的k值只有一個，再驗證斜率不存在且過點p-2，-1的直線是否為切線。

解法二：幾何法。圓的方程化為x-2■+y+1■=4，圓心C（2，-1）。設切線的斜率為k （存在時），則過點p-2，-1的直線方程為y+1=kx+2，即y-kx-2k+1=0。由平面幾何知識，圓心 C（2，-1）到切線的距離等于圓半徑，所以d=■=2。解得k=±■。將k=±■代入切線方程，得兩條切線方程為 x-■y+2-■=0，x+■y+2+■=0。將切線方程y+1=±■（x+2） 代入圓的方程，得x-2■+■x+2■=4，解得x=1，再代入切線方程，得y=-1±■ ，所以切點坐標為-1，-1+■，1，-1-■。

點評：利用相切的幾何意義（圓心到直線距離等于半徑）。若求得的 值只有一個，再驗證斜率不存在且過點 p-2，-1的直線是否為切線。就求切線方程而言，較解法一可減少運算量，值得重視。當然法一，法二都是我們最容易想到的方法。

解法三：轉化與化歸法。設切點坐標為A（x1，y1），為圓上一點那么利用公式得過點A的圓的切線方程為：x■x+y■y-2x+x■+y+y■+1=0

因為切線過點p-2，-1，所以-2x■-y■+4-2x■-1+y■+1=0，解得x1=1，

代入圓的方程，解得y1=-1+■或 y1=-1-■。

所以切點坐標為1，-1+■，1，-1-■ ，

所以切線方程為：x-■y+2-■=0或x+■y+2+■=0。

解法四：參數法。圓的方程化為x-2■+y+1■=4，故可設切點坐標為2+2cos？茲，-1+2sin？茲，？茲∈[0，2？仔）， 則切線方程為 x-2·2cos？茲+y+1·2sin？茲=4。因為切線過點p-2，-1，代入切線方程，得-8cos？茲=4 ，所以cos？茲=-■，sin？茲=±■。所以切點坐標為1，-1+■，1，-1-■，切線方程為 x-■y+2-■=0或 x+■y+2+■=0。

點評：若出Acos？茲+Bsin？茲=C 型，可將Acos？茲移到右邊，再兩邊平方求解。

解法五：平移轉化法。圓的方程化為x-2■+y+1■=4，將圓和點 p-2，-1同時按向量■=（-2，1）平移（x'=x-2，y'=y+1，從而 ，x=x'+2，y=y'-1），得到的圖形所對應的方程為 x2+y2=4（改寫后）和點p（-4，0）。設此時切點坐標為（x0，y0），則切線方程為xx■+yy■=4，因其過點p（-4，0），所以-4x■=4，x■=-1 。將x■=-1代入圓的方程 x2+y2=4解得y0=±■，所以切線方程為x±■y+4=0 （即切線方程為x'±■y'+4=0 ），切點為-1，±■。再將所得的切線和切點按向量-■=（2，-1）平移，得到所要求的切點坐標為1，-1±■ ，切線方程為x-2 ±■y+1+4=0，即切點坐標為1，-1+■，1，-1-■，切線方程為x-■y+2-■=0 或x+■y+2+■=0 。

點評：利用平移轉化法，變復雜為簡單，減少了運算。但要確保平移的正確性和熟練運用。

一道習題，五種方法。五種方法就是五種不同的數學思維的體現。一道習題在手，若能打開思維的窗扉，從各種角度去考慮，尋求不同的解題策略，對提高我們的解題能力大有幫助，解題后認真總結，摸索規律，舉一反三，其收益將更為明顯。