美學方法在中學數學教學中的應用

【摘 要】人們經常從邏輯的角度對數學發現的問題進行討論，但除了邏輯的成分以外，數學發現中還包含直覺的因素。它是人腦對數學對象及其關系結構的某種直接的領悟或洞察。直覺的產生是不可能預期的，但是直覺能力可以培養。這其中的重要環節之一就是應當培養對數學美的鑒賞能力。本文就如何運用美學方法，談談在中學數學教學中的應用。

【關鍵詞】美學 中學數學 邏輯

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）31-0127-02

人們經常從邏輯的角度對數學發現的問題進行討論，但是除去邏輯的成分以外，數學發現中還包含直覺的因素。它是人腦對數學對象及其關系結構的某種直接的領悟或洞察。直覺的產生是不可預期的，但是直覺能力可以培養。這其中的重要環節之一就是應當培養對數學美的鑒賞能力。

人們對大數學家龐加萊關于數學發現（創造）的論述有很高的評價，龐加萊認為：數學創造的本質就是在已知的數學事實所可能造成的新組合之中做出正確的選擇；由于從已有的概念、圖像、變換、結構等出發可以構造出不計其數的新組合，而其中的大多數的則是無用的，而且人們也不可能實際地去構造出每一個可能的組合，并逐一去檢查它們是否有價值，因此，數學發現的本質就在于作出正確的選擇，而正確選擇的基礎在于直覺。龐加萊還認為：直覺是一種無意識的思維活動，在這種無意識的思維活動中，審美情感發揮著選擇作用，所以選擇的直覺經常表現為美的直覺。

這里所說的數學美學方法，就是指在數學學習和研究中可以自覺地運用美學的思考去決定可能的研究方向或對數學問題的解決作出判斷。與龐加萊關于審美感與無意識狀態下的作用相同。這里所說的美學方法其主要功能也是一種選擇的作用，而且是一種自覺的應用。

例如：依據對稱性的原則，在研究方向的選擇上，既要注意同向的研究（此時，類比是十分有用的工具），又要注意反向的考慮，在對研究對象進行探索時應注意發現有關原型的一些對稱、和諧的特征；如果原型是不對稱的客體，應設法進行對稱性的改造等等。

又如：在數學學習與研究中，應當特別重視“反例”的構造。因為奇異性結果的獲得往往導致有關概念的澄清或新的研究方向的開拓。

再如：根據美學的考慮對數學理論和解題實踐作出評價，以不斷發展理論和改進方法。

例1，已知半徑為R的圓上有兩點A、B，AB=a（a<2R），試確定當點C位于圓上何處時，AC2+BC2取最大值，并求出最大值。

分析：由于圓是對稱圖形，美的直

覺啟示我們，當點C位于優弧AmB的

中點時，AC2+BC2將最大。

解：如右圖所示，設C、C′分別是

弧AmB與弧AnB上任一點，∠C=α， C′

∠C′=β，則S=AC2+BC2=AB2+2AC·BC·cosα；S′=AC′2+BC′2=AB2+2AC′·BC′·cosβ=AB2-2AC′BC′cosα。

顯然S′

在△ABC中，根據正弦定理得： ，所以sinα

= 。故AC=BC=2Rcos ，所以Smax=a2+2·4R2

cos2 cosα=a2+4R2cos2α+4R2cos2α=4R2+2R 。

例2，化簡cot18°+cot36°+cot54°+cot72°。

分析：上式本身存在著一種和諧美，四個余切值排列整齊，角度逐漸增大，每次增加18°，且首末兩項以及中間兩項角度之和為90°，因此化簡時，必須利用這種和諧關系，而采用重新組合的解題策略。

于是該問題的求解全過程完全明晰。

〔責任編輯：高照〕