數學教學中思維能力的培養

【摘 要】本文寫我們數學教師在教學中，不僅要教學生的知識，而且要注意培養學生的思維能力，即思維的積極性，思維的逆向性，思維的橫向性。

【關鍵詞】思維能力；培養；知識；化難為易

俗話說“刀不磨不利，腦不用不靈。”教師著眼點不要只放在知識本身，而是要通過知識發展思維，培養學生思維能力，使學生養成動腦筋習慣，提高學生的自學能力。下面結合數學教學，對怎樣培養學生思維能力淺談幾點做法。

一、培養學生思維的積極性

1.引趣

在組織教學活動時，我把教材變成切合學生心理水平的問題，轉化為學生的欲望需要，使學生急切地想要知道而以前不知道的東西，使他們在興奮的狀態下投入對知識的探求。

案例：在講虛數單位“i”的引入時，提問學生方程x2=1的解是什么？學生很快回答出來，接著再問他們議程x2=-1的解是什么？學生回答沒有解，我反駁他們說這個方程有解，學生愕然，怎么會呢？趁學生的注意力高度集中這一刻，告訴他們在實數范圍內確實沒有解，但是如果把數的范圍再擴大一些，引入一個新數——虛數i就會有解，這時學生自然會想：虛數i是什么呢？此時抓住他們想知道這個新數的時機講清有關虛數單位“i”的一切，使學生很深刻地掌握了這個新知識。

2.設疑、設問

設疑、設問是思維的起點，是思維的啟發劑，所以在教學中要善于創設問題情境，使學生對知識處于“心欲求而未得，口欲言而不能”的進取狀態，大腦皮層鎖上一連串的扣，使學生求知欲進入活躍狀態。

（1）概念教學時，要在概念形成的關鍵處設疑

概念教學是高中數學教學的一個重要組成部分，通過設疑，創設一個引出概念、定理、法則的問題情境，啟發學生積極思維。

案例1：在講“平面的基本性質”時，講到“如果兩個平面有一個公共點，那么它們相交于過這點的一條直線”。我邊說邊演示，有意識在把表示一個平面的三角形模型的一個端點和另一個平面接觸，接著提出疑問：“你們看，這兩個平面不是只有一個公共點嗎？”乍一看，似覺真實，學生頓時議論起來，當有學生議論“平面是無限延展的”時，我將一個平面模型壓入事先做好的帶有孔隙的平面模型里，形象地說明了兩個平面不可能只有一公共點的結論。同學們印象深刻，不感到抽象難懂，大腦處于積極思維狀態，學習興趣提高。

（2）解題教學時，要在解題思路形成的關鍵處設問

①設置“階梯”，促使學生思維的深入性

案例2：設f（x）=x2+bx+c（b、cR），已知不論α，β為何實數，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0.

（1）求證：b+c=-1；（2）求證：c≥3.

第（1）題的設計是第（2）題的“階梯”，如果沒有第（1）題，直接做第（2）題，那就比較難。同時，學生也學到了怎樣由不等式證明等式的方法，即由已知條件得f（1）≥0且f（1）≤0，從而可得f（1）=0，也就得到b+c=-1.

案例3：（1）已知a、b是正常數，a≠b，x，y·（0，+∞），求證： ，指出等號成立的條件；

（2）利用（1）的結論求函數f（x）= 的最小值，并指出取最小值時x的值。

第（1）題關鍵先要證 成立。第（2）題結論由第（1）題的結論很快得出。

②重視問題的變式設計，發展學生思維的靈活性

案例4：（1）已知x>0，y>0，且x+2y=1，求 的最小值。

（2）如果x，y都是正數，且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值。

（3）函數y=loga（2-x）+1（a>0且a≠0）的圖像恒過點A，此點在直線mx+ny-2=0（mn>0）上，求 的最小值。

第（1）題 ，接著利用基本不等式便能求出最小值；第（2）題只要將2x+8y-xy=0化為 ，下面按第（1）題的方法即可；第（3）題先由題意求出點A（1，1），再將點的坐標代入直線方程，然后按照第（2）的做法便可得出答案。

在設計變式題時，教師要注意“度”。這就要對自己所教的學生知識基礎和認知水平充分了解，既不能過難，也不能過易。總之，題目的難易，要為學生的思維發展起著恰到好處的作用。

二、培養學生思維的逆向性

“正難相反”是數學教學中常用的方法，“反”是指把思維向習慣思維的反面。運用逆向思維化難為易。

案例1：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=A1B1，AC1⊥平面A1BD，D為AC上的點.求證：B1C1⊥B1A.

若按正向思維，利用諸多已知條件證明結論，有的同學感到無從下手，既然要求證明B1C1⊥B1A這個結論，它一定是正確的，再結合已知的條件就可推測出B1C1⊥平面ABB1A1。有了這一推測我們就有了解決問題的著手點，即只需證明B1C1⊥平面ABB1A1，就能證出題中要求的結論。

案例2：下面三個方程中至少有一個方程有實數解，求實數a的取值范圍。（1）x2+4ax+3-4a=0；（2）x2+（a-1）x+a2=0；（3）x2+2ax-2a=0.

若按常規想法，則需考慮三個方程中僅有一個方程或兩方程或三個方程有實數解三種情況，非常繁瑣，但考慮其反面，三個方程沒實數解，則使問題大為簡化：令Δ1<0，Δ2<0，Δ3<0，聯立三個不等式，其解為A={a|-

三、培養學生思維的橫向性

在培養學生逆向思維的同時也要重視橫向思維的培養，這樣可以打破思維的局限性，培養思維靈活性。“橫向”就是指發現一種現象后立即聯想到與它相似的其他現象。

案例1：求函數：y= + 的最小值。

看到函數是兩個算術根之和，聯想到復數模公式及關于模的不等式，用下面方法完成這道題。設z1=5-x+5i，z2=x+5i，則y= + =|z1|+|z2|？叟|z1+z2|=|5+10i|=5 。

案例2：已知實數x，y滿足圓方程。

（1）求 的最大值和最小值；

（2）求x+y的最大值和最小值；

（3）求x2+y2的最大值和最小值。

對于（1）， 即為圓上的點與原點連線的斜率， 取值范圍就是過原點向圓引兩條切線的斜率之間的范圍，從而求 的最大值和最小值。

對于（2），可設y+x=m，直線y=-x+m與圓有公共點時，y+x的取值范圍就是直線系y=-x+m中與圓兩條切線位置對應的縱截距之間的取值范圍；也可以將y=-x+m代入圓的方程，由可得m的取值范圍，即得y+x的最大值和最小值。

對于（3），可聯想 表示圓上的點到原點的距離。先求出 的最大值和最小值，再求出x2+y2的最大值和最小值。

教學中，我們要向學生指出，變元轉換、構造方程與數形結合是處理二元條件最值的常用方法。

通過這個橫向性聯想把問題化難為易，活躍了學生的思維，培養了學生思維的靈活恬和廣泛性，增強了學生發散思維能力，有助于培養他們的創造能力。

教學中，通過對學生思維能力的培養，提高了他們獨立學習的能力，使他們能在獨立學習中獲取新知，這是素質教育的需要。而思維能力的獲得與提高，必須通過自己的思維活動，所以思維能力的培養要納入課堂教學計劃中，備課時不但要明確教給學生什么知識，而且要站在學生角度設想什么是學生接受知識的最佳途徑。不僅通過教師講，更要通過適當的方法讓學生自己去思考、去探索，并且用準確的語言或適當方式表達出來，這樣就可使學生的思維能力和知識同時得到增長。

【參考文獻】

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[2]沈新權.高中數學復習課教學設計的探索與實踐[J].中學數學教學參考（上旬），2012（8）：23-25

（作者單位：江蘇省南京市二十九中教育集團四中校區）