高一數學函數——你學會了嗎

【摘 要】對高中數學函數的學習方法及重難點的總結，讓學生學起來更輕松，對后面知識的學習會有所幫助。

【關鍵詞】函數；定義域；方法

隨著課程改革的深入，初高中的銜接及難度作了很大的調整。盡管這樣，很多高一新生在學習函數（北師大必修一）時遇到不少困難，甚至有部分學生產生厭學心理，究其原因，大多數說是數學很難學，尤其是函數，聽都聽不懂。細想想，函數真的有那么難嗎？我想掌握方法很重要。

首先，從概念入手，高中對函數重新定義，從集合的觀點，強調兩個非空數集上的對應，對A中的任何一個元素，在B中有唯一確定的一個元素與它對應。實際上，這與初中的定義（某一變化過程中有兩個變量X和Y，對每一個X有唯一的一個Y值與之對應）沒有本質區別，只是放在不同環境下而已。抓住兩個重點，一個是A，B是兩個非空數集，二是A滿足任一性，B滿足唯一性即可。適當找些練習鞏固一下。

其次，掌握函數學習的精髓即學會畫、會看函數圖象非常重要。函數的學習遵循從定義到圖象到性質再應用，靈活應用的規律，圖象是其中最關鍵的一個環節。先說分段函數，要理解它是對什么進行分段，實際上分段函數是對定義域進行分段的，不同的定義域有不同的解析式（即對應關系不同），作圖時特別注意對相應定義域區間上對應的函數圖象，并且要知道分段函數各部分定義域是不相交的。函數的定義域是幾段定義域的并集，函數值域也是各段值域的并集，還要注意一些關鍵點，如與坐標軸的交點，各段端點等等。

二次函數是考試的重點，它的圖象通常采取描點作圖或平移作圖法。描點作圖通常取三個點，一個是頂點，再就是頂點左右兩邊各取一個點（常取圖象與X軸的交點），用光滑的曲線連起來。在這個過程中確定頂點和開口很重要，通常對二次函數配方求頂點坐標及確定開口方向。平移變換作圖的平移口訣是“左加右減，上加下減”，若是X的變化則左右移，若是Y的變化則上下移。當開口不確定（即二次項系數是參數）時，應分三種情況a>0，a<0，a=0討論函數性質。然后再看對稱軸，把對稱軸和區間端點值比較，分三種情況即對稱軸在區間左邊，中間，右邊討論，特別要注意討論的時候應不重不漏。當然，有時還需討論與X軸交點情況。其中討論對稱軸位置是最常見的，例如：

已知函數 在區間[0，1]上的最大值為2，求a的值。

解： .

①當 ∈[0，1]，即0≤a≤2時，f（x）max= - + =2，則a=3或a=-2，不合題意。

②當 >1時，即a>2時，f（x）max=f（1）=2？圯a= .

③當 <0時，即a<0時，f（x）max=f（0）=2？圯a=-6.

再說說指數和對數函數，因為這兩個函數是互為反函數的，其圖象關于直線Y=X對稱，而且底數a大于1（增）與小于1大于0（減）時單調性相同。對于指數函數y=ax，a>1時，a越大y軸右邊圖象越靠近y軸，即越陡；當01時a值越大x軸上方圖象越靠近x軸；0

值得一提的是對數的運算性質，學生往往記住一兩天馬上又忘了，但教學生記住這個口訣應該不那么容易忘了：“真數相乘除，對數相加減；對數乘方指數出。”

再次，學會由圖象歸納函數性質。通常函數性質從以下幾個方面去分析：首先確定函數定義域和值域，然后研究函數單調性，奇偶性，對稱性，最值，周期性等等。當然并非每個函數都具備上述性質，但定義域和值域每個函數都有，它們是最基本的性質，在解題時應抓住這一性質。如：

若2lg（x-3y）=lgx+lg（4y），則y/x的值等于 .

解：x-3y>0且x>0，4y>0得x>3y>0.

原式化簡為：lg（x-3y）2=lg4xy即x2-6xy+9y2=4xy.

整理后兩邊同時除以x2求得y/x= 1/9 若沒有注意到函數定義域就會出現增根。

特別是復合函數，尤其要注意定義域優先原則。所有性質都應在定義域范圍里研究，而且復合函數單調性有里外兩層函數同則增異則減的規律。

初學者對冪函數和指數函數容易混為一談，不易區分。其實只要告訴學生函數的名稱是對自變量x所在地位置來命名的就容易區分了。冪函數只需掌握其中的五個函數圖象，即y=x-1，y=x1/2，y=x1/3，y=x2，y=x3.能準確畫出圖象并由圖象分析函數性質。

函數抽象是不容置疑的，但只要抓住其精髓，學習起來會輕松很多。還有就是每學完一部分內容應及時復習，不僅對函數學習，對所有學習都應這樣。只要抓住重點，突破難點，很多問題都能迎刃而解。

（作者單位：江西省贛州石城中學）