重視一元二次方程解法中的數學思想

【摘 要】一元二次方程是初中數學中的重要內容，在初中代數中占有重要地位。但是，解一元二次方程卻一直被認為是一個難點。究其原因，是未能很好的掌握解法中的數學思想。對于學生而言，很少人能夠系統的掌握。為此，結合教學實踐，將其中的四種數學思想陳列如下并配以例題說明。

【關鍵詞】一元二次方程；轉化思想；整體思想；分類討論思想；方程思想

課標要求“人人學有價值的數學”。“有價值的數學”就是數學思想方法，數學思想方法是數學基礎知識、基本技能的本質體現，在解一元二次方程中，也蘊含了一定的數學思想。

一、轉化思想

著名的數學家，莫斯科大學教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數學奧林匹克參賽者發表《什么叫解題》的演講時提出：“解題就是把要解題轉化為已經解過的題”。數學的解題過程，就是從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉換過程。轉化，是一種重要的思想方法，它能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。

解一元二次方程的基本思路是運用了“轉化”的思想，即把待解決的問題（一元二次方程），通過轉化，歸結為已解決的問題（一元一次方程）。直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法中都滲透了這一思想。

直接開平方法： 兩個一元一次方程，把“未知”轉化為“已知”；

配方法：一元二次方程 ，

兩個一元一次方程，體現了數學形式的轉化；

因式分解法：一元二次方程 兩個一元一次方程；

公式法：直接用公式把把“未知”轉化為“已知”。這些都體現了轉化的思想。

例1 方程x2+4x=2的正根為（ ）.

A.2- B.2+ C.-2- D.-2+

解析：x2+4x+4=2+4.因此（x+2）2=6，x+2=± .

例2 若2x2-5x+ ，則2x2-5x-1的值為 .

解析：把原式中2x2-5x為一個未知數，令2x2-5x=y，用換元法得到分式方程求出y，則可得到所求的值。

二、整體思想

整體的思想方法，就是將注意力和著眼點放在問題的整體上或把一些相互聯系的量作為整體，從而使問題巧妙的解決的方法稱之為整體思想。利用整體思想可以培養學生的邏輯思維能力。

有些一元二次方程問題，可根據其特點，采用整體處理的方法，不僅可避免復雜的計算，而且還達到了解決問題的目的。

例3 解方程3（x- ）2=2x（x- ）.

解析：本題的方法比較多，不過如果利用整體思想可大大地減少運算量。把x- 作為一個整體，然后利用因式分解的方法進行解答。

三、分類討論思想

我們在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在初中數學學習中占有重要的位置。

在涉及到含有字母系數的一元二次方程時，經常要用到分類討論思想。分類討論一般分為以下三步。第一步，根據題目需要確定分類討論的思想；第二步，針對討論對象進行合理的分類討論；第三步，對分類討論結果進行合并，綜合得出結論。從而獲得問題的解決方案。

例4 若0是關于x的方程（m-2）x2-3x+m2+2m-8=0的解，則實數m的值為 .

解析：根據題意，進行分類，是解決本題的突破口.本題逆用方程解的定義可求得m的值，但要注意m的不同取值所得的方程解的情況也不同，故要分類討論。由題意，得m2+2m-8=0，解得：m=2，m=-4.

（1）當m=2時，原方程變為-3x=0，解得x=0.

（2）當m=-4時，原方程變為-6x2-3x=0，解得x=0，x=-2.

例5 當a為何值時，關于x的方程（a+1）x2+2ax+a=0有實數根？

解析：方程“有實數根”包含“有一個實數根”和“有兩個實數根”，即方程既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，故需分類討論：

（1）當a+1≠0，即a≠1時，方程為一元二次方程。

因方程有實數根，所以（2a）2-4（a+1）·a≤0.解得a≤0.

所以，當a≤0且a≠-1時，一元二次方程（a+1）x2+2ax+a=0有實數根。

（2）當a+1=0，即a=-1時，方程為-2x-1=0.實數根為x=- .

綜上可知，當a≤0時，方程（a+1）x2+2ax+a=0，有實數根。

四、方程思想

方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的。笛卡爾的方程思想是：實際問題→數學問題→代數問題→方程問題。

方程思想在一元二次方程的解法中有著廣泛的應用。如已知方程和方程的根，求方程中字母的值，運用了方程思想；又如列方程解實際問題也充分體現了方程思想。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應用方程思想時需要重點考慮的。

例6 已知關于x的方程x2-px+q=0的兩個根分別是0和-2，則p和q的值分別是（ ）.

A.p=-2，q=0 B.p=2，q=0 C.p= ，q=0 D.p= ，q=0

解析：解答本題的關鍵是要明確方程的定義，因此，只需將方程的根0和-2代入原方程，得到一個關于p、q的方程組q=04+2p+q=0，再解這個新的方程組得到p=-2q=0即可。

例7 已知x2+y2+4x-6y+13=0，且x、y為實數，求的yx值。

解析：本題圍繞一元二次方程，既考查了知識，又考查了能力。通過審題發現只需將等式的左邊改為兩個代數式和的形式，即（x+2）2+（y-3）2，再利用非負數的的性質得到兩個方程x+2=0、y-3=0，解出x=-2，y=3后代入中求出答案即可。

數學思想是是數學解題的指南針，是學習數學的方向盤。解題時恰當的運用數學思想可使思路開闊，方法簡便快捷。提高一元二次方程的解題思維，可以對已學過實數、一元一次方程、因式分解、二次根式等知識加以鞏固，同時又為今后學習可化為一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式、二次函數等知識的打下基礎。只要真正理解這些數學思想，并在解題的過程中靈活應用，就會在解決數學問題的過程中舉一反三，提高學習的效率，真正學會數學，會學數學。

【參考文獻】

[1]全日制義務教育《數學課程標準》.北京師范大學出版社

[2]鄧海勇，鄭陽芳.《淺談一元二次方次的幾種解法》.中國教育改革及教學研究，2009.3

[3]主編：薛金星.《高效學習法——九年級數學上》.北京教育出版社，2012.4

（作者單位：江蘇省靖江外國語學校）