方程與函數思想在高中教學的實踐探究

【摘 要】方程思想與函數思想是高中數學中的關鍵思想方法，綜合知識面廣、出題類型繁多、解題時需要應用的技巧多，因此也成為了歷年高考的重點。本文首先介紹了函數與方程思想在高中數學中的背景，然后以例題的形式，結合具體的例子講述了函數思想與方程思想在解題中的應用。在本文的最后，就函數與方程思想在解題中應該注意的一些問題和解題時的步驟做了總結。

【關鍵詞】高中數學；方程思想；高考；函數思想

函數思想和方程思想是中學數學中重要的思想方法，然而數學的方法和思想是數學學科的精髓，它是數學能力、數學知識、數學素質和數學最本質的高層次體現。數學學科的本質特點也就在數學思想上得到了最好的體現。對方程思想與函數思想的以及二者的滲透結合考察也在近幾年的高考中都得到了很好的體現。

一、方程思想與函數思想概述

方程與函數思想就是用方程、函數的觀點和方法來處理變量或未知數之間的關系，從而解決問題的一種數學思維方式，是很重要的數學思想。方程與函數關系密切，方程問題也可以轉換為函數問題來求解，反之亦然。

1.方程思想概念

方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系。在解決數學問題時，將未知轉化為已知的手段就是通過設元，然后尋找已知與未知之間的等量關系，構造方程或方程組，然后求解方程，當一個問題可能與某個方程建立關聯時，可以構造方程并對方程的性質進行研究以解決這個問題。

利用方程思想解決問題，首先要具有正確列出方程的能力，有些數學問題需要利用方程解決，而正確列出方程是關鍵，因此要善于根據已知條件，尋找等量關系列方程。其次要具備用方程思想解題的意識，要善于挖掘隱含條件，要具有方程的思想意識。最后，要掌握運用方程思想解決問題的要點。除了幾何的計算問題要使用方程或方程思想以外，經常需要用到方程思想的還有一元二次方程根的判別式，在解決與這些內容有關的問題時要注意方程思想的應用。

2.函數思想概念

函數思想是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題的一種思想方法。函數思想是解決數學題型問題中的一種常用的思維策略。

在平時解題的過程中，要善于去挖掘其中的隱含條件，根據隱含條件構造出函數解析式，利用函數的性質，是函數思想解題的關鍵應用。

觀察問題、分析問題和判斷問題，然后系統去追尋題目中的相互關聯，構造函數的原型。另外，一些代數問題、不等式問題等也可以轉化為函數的相關問題，因此可以借助于函數的思維解決一些非函數的難題。

方程思想和函數思想是兩個相互聯系、相互滲透的可又不同的數學概念。一個函數若有解析表達式，那么這個表達式就可以看成是一個方程。一個方程，它的兩端可以分別看成函數。因此，許多有關函數的問題也可以用方程的思想來解決，相反，許多有關方程的問題也可以用函數的思想來解決。

二、函數思想和方程思想解題類型歸納

1.證明不等式的應用

在解決不等式的問題的時候，我們可以以函數為橋梁，將方程和不等式實現在函數之間的相互轉化，方程與不等式同函數有著內在的聯系。我們在研究函數性質的時候，用到了很多不等式及方程反面的知識，如求定義域實際上就是求解不等式，證明函數的單調性歸根到底就是不等式的證明問題，等等；另一方面有關方程和不等式的問題，又可以統一到函數思想的研究，如解方程就是函數f（x）零點，解不等式f（x）<0就是求函數f（x）的正負區間。因此在實際解題過程中，我們應該善于利用函數思想，以其為橋梁，來解決的方程、不等式問題。

點評：對于同時包含有，的式子的問題，常常可將看作為某個一元二次方程的兩個根，進而我們可以構造出一個一元二次方程，然后利用方程中的有關理論來求解。

2.數列問題的應用

方程思想和函數思想是數列的兩大精髓。從基本量出發，知三求二，這是方程思想的體現；將數列看成一種特殊的函數，等差、等比數列的通項公式和前項和公式都是關于的函數，則蘊含了函數的思想，借助有關函數、方程的性質來解決數列問題，常能起到化難為易的功效。

例3.已知數列bn是公差為1的等差數列，bn=。

點評：通過上本例題我們可以發現，在數列的教學中，應該重視方程函數思想的滲透，應該把函數概念、圖形、性質有機的融入到數列中，通過數列與函數知識的相互交匯，使學生的知識網絡得益不斷優化與完善，同時也是學生的思維能力得以不斷地發展提高。

3.求解綜合題的應用

在一些大型的綜合題當中，函數與方程思想的應用也相當廣泛。

點評：通過本例題，我們可以看到，在求解這種綜合提的時候，首先要明確題目要求解的問題，然后根據已知條件，結合方程和相關函數的性質，也可以利用屬性結合的方法來進行求解。

三、方程思想和函數思想在解題中的總結

教會學生們一種嚴密的數學思維，培養和提高他們解決數學問題的能力，是我們數學學科教學中的重要任務。從以上的例子我們可以看出，方程思想和函數思想在高中數學解題中有著相當廣泛的應用，如果學生能夠掌握和利用函數與方程思想來解題，將會達到事半功倍的奇效。

在教學中，我們應該培養學生做到，當看到一個題目的時候，首先要想一想可否將題目中的代數式抽象成為一個函數，或者將方程化作函數，亦或者將字母看成變量；如果上步可行的話，接下來我們應該考慮，是否能夠利用轉化得到的函數的一些性質或者屬性來解決問題；如果上步不可行的話，是否可以考慮構造輔助函數來轉化問題。如果題目中包含有等式，我們可否將其轉化為一個方程，然后利用方程的思想對其進行求解。總之，方程思想和函數思想是高中數學最常用也是最重要的思想方法，因此在高中的教學中，要加強學生對這種思想的應用，使他們熟練掌握這些思想方法，進而可以不斷提高思維的靈活性。

【參考文獻】

[1]張同君.中學數學解題研究[M].長春：東北師范大學出版社，2002

[2]成世泰.例談含參不等式的解法[J].數學教學研究，2004.04

[3]丁賽軍.數列中的數學思想.高中數學教與學，2003.11

[4]淺析函數與方程思想在高中數學課堂教學中的應用.韓若瑩《新課程學習（中）》.2012.04.18

[5]嚴碧友.函數與方程思想應用面面觀[J].中學生數理化（高中版），2004.03

[6]周萬林.談談“構造方程”解題[J].河北理科教學研究，2003.02

（作者單位：浙江省麗水學院）