挖掘習題潛能培養學生的發散思維

【摘 要】數學習題蘊藏著強化雙基，培養學生發散思維的巨大潛在功能，在教學中若能充分的挖掘，即可使學生的學習達到舉一反三的效果。

【關鍵詞】潛能；發散思維；挖掘

培養學生的發散思維是當今數學教學研究的重要課題。如何在教學工作中加以研究和實施呢？筆者認為深入研究習題的內涵，充分挖掘習題的潛在功能，以求達到舉一反三之作用是一條很重要的途徑。筆者就以一堂作業講評課中對一道習題的多解、多變等方面的處理為例加以分析討論。

題目：已知AD是△ABC的中線，E是AD的中點，F是BE的延長線與AC的交點，求證：AF：AC=1：3。

一、開拓思路，發現規律

通過對習題的多種分析和證明，不公培養了學生的思維的靈活性，而且有利于提高學生解題能力，同時，通過引導學生對上述分析和證明進行歸納、提煉，可對一類輔助平行線作法的常用技巧做到逐步掌握，觸類旁通。

二、分析探索，發展思維

教學實踐證明，把握命題的多種變通性，進行一題多變訓練，有益于實現把數學知識結構向學生的認識結構轉化。

變式1：變換條件

把“中線AD”改為，BD：DC=2：1，把“E為AD的中點”改為AE：ED=3：4，通過上述各種證法均可證得AF：AC=1：3。

變式2：變換結論

將本文例題結論變換為求證：AF：AC=FE：EB，由條件均可通過作輔助線得證。

變式3：變換條件和結論

將題設中的“E為AD的中點”變換E為AD上任意點，即過△ABC的頂點B任作一直線與邊AC及中線AD交于點E、F，求證：AE：ED=2AF：FC。

變式4：變換圖形

1.將一般三角形變為等腰三角形即得。△ABC中，AB=AC，AD為BC上的中線，E是AD的中點，邊BE延長交AC點F，求證：AF：AB=1：3。

2.將直線FB繞點E旋轉使GE∥BC交AB于G，問：結合圖10，依變換后的條件又能得到什么結論？

分析：若根據所得條件，尋求結論，可得到多個比例式，其中由==即可得==2。

圖（10） 圖（11）

3.若將FG繞點E旋轉到任意位置，且FG不平行于BC，問：+=2是否成立？

證明：過B作BM∥FG，過C作CN∥MB，分別交AD和它的延第線于M，N，可證明△BMD≌△CMD

∴DM=DN，AM+AN=2AD

∵BM∥GF，∴= ①

∵CN∥GF，∴= ②

由①+②得+=+==2

顯而易見，這種由“一般”到“特殊”，又由“特殊”到“一般”的探索方法，不公有益于求同或聚合思維的培養，更有益于求異思維和發散思維的發展。

總之，課本中的不少習題內涵豐富，通過挖掘它的潛在功能來強化雙基，開發潛能，尤其是培養學生的發散思維，有著不尋常的作用。只有這樣才能有效地發揮習題的作用，從而達到提高學生數學能力的目的。

【參考文獻】

[1]蘇富忠.思維科學[M].黑龍江人民出版社，2002

[2]《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》

（作者單位：浙江省蘭溪市第八中學）