與數(shù)列求和有關(guān)的不等式證明及解題策略

不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，近幾年高考試題中頻繁出現(xiàn)數(shù)列求和與不等式的證明問題，此類問題難度大、綜合度高、靈活性強(qiáng)。解決此類問題時(shí)不僅需要我們掌握相關(guān)的主干知識(shí)，而且對我們的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和素養(yǎng)提出了更高的要求。本文就介紹一類與數(shù)列和有關(guān)的不等式問題，解決這類問題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條：一是先放縮再求和，二是先求和再放縮。

下面結(jié)合一些典型例題談?wù)勁c數(shù)列和有關(guān)的不等式證明及解題策略。

一.先放縮再求和

1.放縮后成等差數(shù)列，再求和

例1. 已知 且 ，求證： 對所有 都成立。

證明：因?yàn)?，所以 ，

又 ，

所以 ，

。

2.放縮后成等比數(shù)列，再求和

例2已知 數(shù)列滿足 。

（1）試判斷數(shù)列 是否為等比數(shù)列，并說明理由。

（2）設(shè) ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 。

（3）設(shè) ，數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，求證；對任意的 。

解； （1）

又 ， 是以3為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列。

（2）由（1）知

（3） ，

此題不等式左邊不易求和，此時(shí)根據(jù)不等式特征，再對分母進(jìn)行放縮，從而對左邊可以進(jìn)行求和.分式的放縮對于分子分母均取正值的分式。該文原載于中國社會(huì)科學(xué)院文獻(xiàn)信息中心主辦的《環(huán)球市場信息導(dǎo)報(bào)》雜志http：//www.ems86.com總第528期2013年第47期-----轉(zhuǎn)載須注名來源如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。

3.放縮后為裂項(xiàng)相消，再求和

例3.已知 是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列， 為其前 項(xiàng)的和，且 。

（1）分別求 的值.。

（2）求數(shù)列 的通項(xiàng) 。

（3）求證： 。

解：（1）由已知可得 。

（2）由已知可解得 。

（3）分析：

又 ，

由以上分析可得：

此題采用了拆項(xiàng)放縮的技巧，放縮拆項(xiàng)時(shí)，須根據(jù)具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。

二.先求和后放縮

例4.正數(shù)數(shù)列 的前 項(xiàng)的和 ，滿足 ，試求：

（1）數(shù)列 的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè) ，數(shù)列 的前 項(xiàng)的和為 ，求證：

解：（1）由已知得 ， 時(shí)， ，作差得： ，所以 ，又因?yàn)?為正數(shù)數(shù)列，所以 ，即 是公差為2的等差數(shù)列，由 ，得 ，所以

（2） ，所以

注：一般先分析數(shù)列的通項(xiàng)公式.如果此數(shù)列的前 項(xiàng)和能直接求和或者通過變形后求和，則采用先求和再放縮的方法來證明不等式.求和的方式一般要用到等差、等比求和或者利用分組、裂項(xiàng)、倒序相加等方法來求和。

在解題時(shí)朝著什么方向進(jìn)行放縮，是解題的關(guān)鍵，一般要看證明的結(jié)果是什么形式.

雖然證明與數(shù)列和有關(guān)的不等式問題是高中數(shù)學(xué)中比較困難的問題，但是我們通過仔細(xì)分析它的條件與要證明的結(jié)論之間的內(nèi)在關(guān)系，先確定能不能直接求和，若不能直接求和則要考慮把通項(xiàng)朝什么方向進(jìn)行放縮.如果我們平時(shí)能多觀測要證明結(jié)論的特征與數(shù)列求和之間的關(guān)系，則仍然容易找到解決這類問題的突破口。

（作者單位：寧波市鄞州區(qū)同濟(jì)中學(xué)）