例談函數零點問題處理的幾種方法

函數零點問題往往以選擇、填空題形式出現在近幾年的高考試題中，該問題主要考查函數與方程的關系，要求學生能夠運用分類討論、數形結合、轉化與化歸思想來解決函數的零點分布或個數問題，該文從以下幾個方法來探討處理函數零點問題的策略。

方法一、直接法

人教數學必修1在函數零點這一節中：“方程 有實數根 函數 的圖像與 軸有交點 函數 有零點。”由此可知，求函數 的零點，就是直接求方程 的實數根。

例1. （2010年福建卷理4）函數 的零點個數為 （ ）A.0 B.1 C.2 D.3

解：當 時，令 解得 ；當 時，令 解得 ，所以已知函數有兩個零點，選C。

備注：利用直接法求函數零點，前提是函數的零點，即方程 的實數根，是我們能夠用代數方法求解的，往往是我們所熟悉的一次、二次、對數、指數等一些初等函數所對應的方程。

方法二、定理法

人教數學必修1中的零點存在定理：如果函數 在區間 上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有 ，那么，函數 在區間 內有零點，即存在 ，使得 ，這個 也就是方程 的根，也就是函數的零點。零點存在定理告訴我們，如果連續函數在區間端點的函數值異號，那么函數在區間內至少有一根（奇數個根）。

例2.（2010年高考天津卷理科2）函數 的零點所在的一個區間是（） A.（-2，-1）B.（-1，0） C.（0，1） D.（1，2）

解：因為 ， ，所以選B。

例3.“ ”是“函數 有零點”的（ ）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

解：若 ，不妨設 則當 時，有 ；當 時，有 。將零點存在定理拓展的非正常區間，有 ，故函數在 必有一根。反之，顯……