化歸與轉(zhuǎn)化思想的數(shù)學(xué)能力統(tǒng)領(lǐng)功能探析

所謂的化歸與轉(zhuǎn)化思想，是指在研究或解決數(shù)學(xué)問題時，借助觀察、聯(lián)想、分析、類比等思維方式，將問題變換歸結(jié)為已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題，進而使原問題得到解決的一種解題策略.

運用化歸與轉(zhuǎn)化思想求解問題時，必須依托對問題的條件和結(jié)論所進行的觀察、分析，發(fā)現(xiàn)二者的聯(lián)系，進而合理地將問題等價轉(zhuǎn)化為其它可以解決的問題，并最終解決原問題.顯而易見，這一過程必須以較高的數(shù)學(xué)思維能力、敏銳的數(shù)學(xué)判斷能力以及全面的數(shù)學(xué)知識遷移能力為基礎(chǔ)的.這無疑意味著，化歸與轉(zhuǎn)化思想的合理與正確運用是以“空間想像能力”、“抽象概括能力”、“推理論證能力”、“運算求解能力”、“數(shù)據(jù)處理能力”、“應(yīng)用意識”以及“創(chuàng)新意識”等數(shù)學(xué)能力的合理與正確運用為基礎(chǔ)的.

換言之，化歸與轉(zhuǎn)化思想當可視為上述各種數(shù)學(xué)能力的“統(tǒng)領(lǐng)者”，其運用當可作為上述各種數(shù)學(xué)能力運用的 “共生體”.

1 化歸與轉(zhuǎn)化思想的運用能有效涵蓋空間想象能力的運用

在求解立體幾何問題時，無論圖形是否已經(jīng)給出，解題者都必須根據(jù)已知條件，通過想像將文字語言和符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，進而在大腦中得到圖形中的幾何元素的正確位置關(guān)系及彼此之間存在的數(shù)量關(guān)系，并據(jù)此對圖形進行適當?shù)淖儞Q.這一過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)語言的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)與形、形與形的相互轉(zhuǎn)化，因而能夠同時有效地體現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化思想和空間想像能力的運用.

應(yīng)該注意到，這些轉(zhuǎn)化過程沒有較高的空間想像能力是難以進行的，而依據(jù)題意對圖形進行變形轉(zhuǎn)化，正是空間想像能力的高層次表現(xiàn).

2 化歸與轉(zhuǎn)化思想的運用能有效涵蓋抽象概括能力的運用

抽象概括能力就是從具體的、生動的實例，在抽象概括的過程中，發(fā)現(xiàn)研究對象的本質(zhì)；從給定的大量信息材料中，概括出一些結(jié)論，并能應(yīng)用于解決問題或作出新的判斷.它包含對數(shù)學(xué)模式和方法的概括能力，以及從現(xiàn)實問題中概括出具體的數(shù)學(xué)模型的能力.

本題求解所需的主要思維方式是探索性思維，化一般為特殊，進而在動手操作的過程中尋找規(guī)律，其思路的隱蔽性很高，考查了考生的直覺思維和邏輯思維，體現(xiàn)了從一般到特殊、從抽象到具體的思維過程，也同時體現(xiàn)了考生推理論證能力的水平.

4 化歸與轉(zhuǎn)化思想的運用能有效涵蓋運算求解能力的運用

運算求解能力的運用，主要體現(xiàn)在運算方法的合理性、運算過程的簡捷性和運算結(jié)果的準確性等方面上，這就使得運算求解能力的運用必然伴隨著數(shù)與形關(guān)系的發(fā)現(xiàn)、函數(shù)與方程聯(lián)系的挖掘、以及恰當變形方向的確定.而這也就意味著運算求解能力的運用必然和化歸與轉(zhuǎn)化思想的運用相伴隨.

若能注意到f（ x ）有零點1和？1，則由其圖象關(guān)于直線x =？2對稱，可知另兩個零點必為？3和？5，從而f（ x ） =？（x+1）（x？1）（x+3）（x+5）.

在求函數(shù)f（ x ）的最大值時，常規(guī)的工具是直接對函數(shù)f（ x ）求導(dǎo)，但于本題而言，此法難行，原因在于如此得出的方程f′（ x ）=0很難求解.

本題充分體現(xiàn)了多思少算的解題策略，不僅可以考查學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，而且可以充分調(diào)動學(xué)生的思維，在解題過程中運用了特殊化、平移、等價轉(zhuǎn)化等策略，從而縮短運算過程或改變運算方式，使復(fù)雜的運算問題變得簡單，達到多思少算的良好效果.這解題過程都需要解題者在腦海中思考并搜索平時所學(xué)的知識方法尋找最可行、最有效的運算途徑，求解結(jié)果正確與否無疑與解題者運算求解能力的高低、化歸與轉(zhuǎn)化思想理解程度的高低成正相關(guān)關(guān)系.

5 化歸與轉(zhuǎn)化思想的運用能有效涵蓋數(shù)據(jù)處理能力的運用

數(shù)據(jù)處理能力包含“會收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對研究問題有用的信息，并作出判斷.”這種能力體現(xiàn)了從特殊到一般，具體到抽象、或然到必然的轉(zhuǎn)化過程，還蘊含著對數(shù)學(xué)模型的判斷和擬合的化歸過程.

例5（2012年高考新課標全國卷·理18）某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理.

（I）看花店一天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤y （單位：元）關(guān)于當天需求量n（單位：枝，n∈N）的函數(shù)解析式.

（Ⅱ）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.

（ⅰ）若花店一天購進16枝玫瑰花，x表示當天的利潤（單位：元），求x的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；

（ⅱ）若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應(yīng)購進16枝還是17枝？

評析 本題以具有現(xiàn)實性的問題情境為背景，平和地將分段函數(shù)與概率知識的交匯在一起.解題時必須能夠洞察具體的數(shù)據(jù)之中所蘊含的信息，并將其轉(zhuǎn)化為解決問題的工具.顯見，這種“感知數(shù)據(jù)”、“認識數(shù)據(jù)”、“探索與發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的過程，不僅可以體現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化思想在概率與統(tǒng)計中的實際應(yīng)用，還同時體現(xiàn)解題者數(shù)據(jù)處理能力的高低.

6 化歸與轉(zhuǎn)化思想的運用能有效涵蓋應(yīng)用意識的運用

應(yīng)用意識的主要體現(xiàn)是依據(jù)現(xiàn)實的生活背景，提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并加以解決.這里隱含著將普通語言理解、抽象并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的能力，及將應(yīng)用問題化歸為某個數(shù)學(xué)模型并解決問題的能力.

（Ⅱ）該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認為適當調(diào)整標桿到電視塔的距離d（單位：m），使α與β之差較大，可以提高測量精確度.若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，αβ？最大？

評析 本題是解三角形、不等式等知識的交匯，且在應(yīng)用題的背景下，需要解題者自行建立模型，并正確發(fā)掘等量關(guān)系，進而合理實現(xiàn)問題的化歸.

應(yīng)該注意到，如若利用直角三角形建立平面直角坐標系，進而運用解析幾何的方法也可完成此題，且方法并不單一.顯然，這有助于解題者明了，在現(xiàn)實生活中，真正的應(yīng)用問題正是各種數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用，而不是單一的某一數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用.數(shù)學(xué)化意識是未來公民必備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng).

7 化歸與轉(zhuǎn)化思想的運用能有效涵蓋創(chuàng)新意識的運用

“創(chuàng)新意識是理性思維的高層次表現(xiàn).”“能發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，進行獨立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題.”“對數(shù)學(xué)知識的遷移、組合、融會的程度越高，顯示出的創(chuàng)新意識也就越強.”應(yīng)該認為，其中的“遷移、組合、融會”就是化歸與轉(zhuǎn)化思想的深層次體現(xiàn).

評析 本題以近世代數(shù)中的“保序同構(gòu)”為背景，考查考生閱讀理解、提取相關(guān)信息以解決新情境的能力.考生要理解“保序”即符合單調(diào)遞增，“同構(gòu)”是滿足滿射（即一一映射），結(jié)合平時的經(jīng)驗，或列舉出滿足條件的具體函數(shù)，或只需根據(jù)兩個集合的條件，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何直觀圖形即可使問題迎刃而解.

本題建立在高等數(shù)學(xué)的背景下，但考生卻無需利用高等數(shù)學(xué)的知識（可列、稠密等概念），需要的是考生能從已知條件中抽取出問題的本質(zhì)，理解“保序同構(gòu)”的概念，進而結(jié)合自身已有的知識儲備，為選項尋找相對應(yīng)的函數(shù).對考生自學(xué)能力的要求較高，考生需具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才可完成求解，從分析到解決問題，沒有規(guī)定的模式，完全由學(xué)生獨立完成.是解題者化歸與轉(zhuǎn)化思想的運用層次的不斷提升，也同時是解題者將知識遷移到不同情境中去的能力、解題者個體理性思維的廣度和深度、以及學(xué)習(xí)潛能的有效體現(xiàn).

作為結(jié)束，有必要再次提及：由于沒有高水平的數(shù)學(xué)能力就無法正確而有效地進行化歸與轉(zhuǎn)化，而化歸與轉(zhuǎn)化思想的靈活運用又是有較高數(shù)學(xué)能力的有效體現(xiàn)，這就必然地使得對化歸與轉(zhuǎn)化思想的運用將始終地被以“能力提升”為基本追求的課標課程所關(guān)注、所重視！

基于這樣的理解，以 “空間想像能力”、“抽象概括能力”、“推理論證能力”、“運算求解能力”、“數(shù)據(jù)處理能力”、“應(yīng)用意識”以及“創(chuàng)新意識”等數(shù)學(xué)能力為視角，審視化歸與轉(zhuǎn)化思想的統(tǒng)領(lǐng)功能，并將這種統(tǒng)領(lǐng)功能切實的體現(xiàn)于日常的教學(xué)之中，其意義與價值應(yīng)該是顯見的.