從“四等分圓面積”說起

摘要

思維是人類特有的一種精神活動.孔子說“學而不思則罔”，意思是說“只讀書而不思考，就等于沒有讀書”.

發散思維，即求異思維，是從一到多的思維，它往往是從一個問題、一個條件、一個已知事項出發，沿著不同的方向，從不同的角度，去尋求不同的答案.

其特殊，表現為思維活動的多向性；

其功能，表現為可不斷挖掘深層信息，創新思路和方法；

其操作，表現為由點到線、由線到網、由網到體的思維境界.

有人說，發散思維是“思維與靈魂的對話”；也有人說，發散思維訓練，可以讓人深深體味到“紙上得來終覺淺，心中悟出方知深”的真諦.

發散思維訓練，有許多方法和典型例題.就數學而言，“四等分圓面積”問題就是很好的“題根”.

問題：將一個半徑為r的圓分成四個面積相等的部分，請盡可能多地設計分割方法，并分析那些方法可以用尺子和圓規作出.

我們相信，圖1是全班同學都會想到的分割方法.圖2和圖3的分割方法也不是很難想到的.

肯定還有許多新的可用尺規作圖的分割法.

我問學生，可否增加一些限制條件，學生紛紛作答.

變1：用尺規將一個圓的面積四等分，且分割線必須通過直徑的兩個端點A和B.

變2：用尺規將一個圓的面積四等分，且分割后的四個圖形全不相同.

……

顯然滿足變2的分割方案有圖71、圖74、圖75、圖76、圖77、圖78、圖83等.

這時，有位前面一直沒有發言的學生舉手要求發言，說：“老師，可能還有好多新的分割法.如果把下面圖中的陰影也作為‘基本元素’的話.”

該生索性走上講臺，畫了起來.

我立即打電話，向這位學生祝賀！充分肯定他的探索精神.

我隨即把這個新發現，寫進自己的教案本.

忽然，我發現這種分割“有問題”！

為了不傷這位學生的心，當晚我沒有再給這位學生打電話，我要讓他再高興一個晚上，或讓他自己發現“有問題”，他若當晚自己沒找出，第二天，我會讓他自己找出“漏洞”，他若找到了，我將再贊美他一次.

讀者朋友們，你發現“漏洞”了嗎？

什么是理想的課堂教學？有許多評價方法.

我認為，就數學課堂而言，學生走進課堂時，應當“滿懷希望，面對問題”，而學生走出課堂時，則“充滿自信，懷抱好奇”.因為他們還有許多問題，需要進一步探索，進一步解決.

回顧

廈門一中舉辦愛科學月活動，學校教務處邀請我為初二學生“玩數學”.我已經到教育局兩年了，深感一中老師充分利用我這位“老校長”的資源.

講什么好呢？

一日讀中考題，發現用“尺規將圓的面積四等分”是某省的一道中考題，畫對一個得1分，總分不超過5分，我覺得這道題挺有意思.

之后的一段時間里，我幾乎天天研究這個問題，也讀了一些關于這個問題的幾本書，這幾本書提到最多有人探索到“舉一反七”.

我逐探索，發現“舉一并不止反七”，可以“反二十”.再研究，發現可以“舉一反百”.到一中和學生“玩數學”，與學生一并經歷探索過程，探索發現可以“舉一反無數”，特別是一位學生走上講臺給出一種可以“用尺規作出無數種本質不同的將圓面積四等分的分割法”，令我驚嘆不已！

凝思

數學教師要有“研究”意識.

把一個實際問題數學化，是數學教師的基本素質；把一個數學問題一般化，是數學教師的基本功底.

數學教師一定要修煉自己的研究能力，那是你的“看家本領”，那是你的專業素養.

現代專業價值觀告訴我們：沒有專業素養，就沒有專業地位；沒有專業能力，就沒有專業報酬.教師的專業形象是由教師的素養、教師的文化、教師的氣節、教師的胸懷、教師的智慧等諸多方面綜合形成的.

處處留心皆有“研究”之處.

愿數學教師用“研究”的視角看世界.

展望

什么是數學問題的教學價值？

知識的？能力的？思維的？激趣的？或是都有一些？

講數學問題，一定不能太“功利”，太功利到頭來可能無利！

“給學生一個活性的大腦”，可能是數學教育的最好的“教育價值”.