淺談高等數學學習中幾種泰勒級數

【摘 要】高等數學中的泰勒級數是非常有用的一種工具，它發展至今已經被大家熟知并得到了廣泛應用。本文將先對高等數學中的泰勒級數進行簡單的介紹，再探討分析泰勒級數的一些應用。

【關鍵詞】高等數學；泰勒級數；應用

在高等數學中，我們學習級數的時候會學習到泰勒級數，它是一種非常有用的工具。在某些方面如果能夠利用泰勒級數，可以取得意想不到的好處。在泰勒級數的發展過程中，最初的希臘哲學家芝諾得出了不能利用無窮級數求和來得到有限結果的結論，后來德謨克利特利用阿基米德的窮舉法推翻了芝諾的結論，證明了無窮級數之和可以得到有限結果。14世紀，數學家們就找到了比如正弦、余弦之類的特殊泰勒級數。蘇格蘭科學家麥克勞林在研究中發現了一些泰勒函數的特例，比如函數在自變量為零時求得的泰勒級數，該級數也就被命名為麥克勞林級數。17世紀，布魯克泰勒終于找到了一個方法，該方法對所有的函數都能夠使用，進行函數的級數展開，這就是我們現在熟知的泰勒級數。本文將先介紹高等數學中的幾種泰勒級數，再探討泰勒級數的重要應用。

一、泰勒級數概述

簡而言之，泰勒級數就是用無數項相加來表示一個具體的函數，而這些相加項得來是通過計算該函數在某一點的導數。在高等數學中的準確定義如下：假設函數f（x）在x=x0某一領域內的任意階導數都存在，則以下冪級數：

麥克勞林級數是泰勒級數的一種特例，它是在泰勒級數中對自變量的取值為0得到的。函數f（x）的麥克勞林級數在點的某個領域內的收斂性跟具體收斂于函數f（x）處并不是相一致的。也就是說，即使函數f（x）在某處的各階導數都存在，相應的麥克勞林級數也能夠計算出來，但是該級數是否收斂，收斂最終是不是在函數f（x）處都是不確定的，需要采用其它進一步的方法進行驗證。

將函數進行泰勒級數展開具有很多種方法，主要可以分為直接展開法和間接展開法兩大類。在直接展開法中，首先要求出函數的各階導數，然后將自變量的取值代入到各階導數中去，接下來就可以按照泰勒級數的定義式直接寫出泰勒級數，最后還要考慮余項在x0的某一領域內的極限是否為零。直接展開法具有結果準確的優點，但也存在展開的過程復雜的缺點，而間接展開法就克服了直接法的缺點，簡化了整個展開過程，取得了更廣泛的應用。目前常見的間接展開法有代換法、逐項微分法以及待定系數法等。

有些函數存在一些奇點，所以不能展開為泰勒級數。但是如果變量的指數冪小于0的話，該函數能夠展開為洛郎級數。

二、泰勒級數應用

泰勒級數在數學的很多方面都有重要的作用，可以解決現實生活中的一些問題，下面將探討分析泰勒級數的一些重要應用。

泰勒級數在解決非線性數學問題時具有重要作用。在我們的日常生活中，很多的實際問題都不是線性的，都是非線性的，比如橋梁的振動、車輛的振動等。這些非線性問題的求解，在數學發展過程中一直是一個難題。傳統的解決方法都是以牛頓法為基礎的，但是這些傳統方法求解過程比較復雜，對過程參數的控制要求也比較嚴格，通常需要進行多次的計算才能夠得出最佳的結果。而利用泰勒級數進行非線性問題的求解具有很大的優勢。泰勒級數求解的基本思想如下：首先，在已知值處將非線性函數展開成泰勒級數；然后，將展開的泰勒級數中的二次以上的項進行刪除，只保留一次項，從而使非線性問題線性化；最后，對最后的求解精度進行檢驗，如果精度不夠的話，可以在泰勒級數中保留二階多項式進行求解，以提高求解精度。

泰勒級數可以用來進行極限的計算。一般對分式項進行極限求值時，可以利用洛必達法則進行求解，但是當分子分母極限都為零時，洛必達法則便無能為力。此時可以根據泰勒級數進行極限求解。在具體的計算過程中需要觀察分子和分母的各項是幾階可微的，再將各項進行泰勒級數展開，并將高階部分略去，然后進行重新計算求值。

泰勒級數是求解非線性的常微分方程的一個重要工具。我們知道常微分方程的求解過程是比較困難的，而利用泰勒級數可以取得不錯的效果。在求解的過程中，非常關鍵的一步是要把方程的右端項和未知數都看成一個參考變量t的函數，然后把把它們展開成泰勒級數，從而可以把求解問題轉化為尋求未知數的泰勒系數。只要方程所對應的問題具有一定的連續性，相應的泰勒級數就有合適的收斂區間，也就能夠確定未知數的泰勒級數，從而求出方程的解。

此外，泰勒級數還能證明級數以及廣義積分的收斂性，能確定一些無窮小量的階數，還能夠證明中值定理以及一些復雜的不等式。

三、結語

目前，泰勒級數是高等數學中的一種重要應用工具。本文先對泰勒級數的發展歷史、基本概念以及常見的幾種泰勒級數、展開方式等進行了簡單的介紹，再重點探討了泰勒級數在各個方面的重要應用。我們在高等數學學習的過程中，應當積極學習泰勒級數，并針對生活中的實際問題運用泰勒級數知識進行求解，學為所用才是最佳的學習。

參考文獻：

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[2]田華.巧用泰勒級數展開式求解一類概率問題[J].高等數學研究，2007