利用函數圖像激發學生的探究函數的興趣

【摘 要】本文以函數圖像在解題中的應用為例體現函數圖像的優勢，以激發學生的探究函數興趣。

【關鍵詞】解析式；函數圖像；探究；初等函數；點對稱；數形結合

學生進入高一的數學學習不是“坡的上升”而是“坎的跳躍”，在初中的所學習的函數基本都是用解析式表示，對學生的影響是函數的圖像是解析式的副產品，對于這樣的錯誤影響在函數的表示部分雖然強調，解析式和圖像的地位同等，學生解題時常用解析式，而忽視了函數圖像的優點，下面就以函數圖像在解題中的應用為例體現函數圖像的優勢，激發學生的探究函數興趣。

例1、已知函數

f（x）={3-x2，x∈[-1，2]

x -3，x∈（2，5]

（1）寫出f（x）的單調遞增區間；

（2）由指圖像出當x取什么值時f（x）有最值.

解析：依分段函數

f（x）={3-x2，x∈[-1，2]

x -3，x∈（2，5]

當x∈[-1，2]時，是二次函數圖像的一部分，當x∈（2，5]時，是一次函數的一部分，如圖所示在直角坐標系中做出函數的圖像

（1）由函數f（x）的圖像就可以看出函數f（x）的單調遞增區間為[-1，0]（2，5]。

（2） 由函數f（x）的圖像就可以看出，f（x）的單調遞增區間為[-1，0]（2，5]，單調遞減區間為（0，2]，當x=2時，f（x）取得最小值f（2）=-1；當x=0時f（x）取得最大值f（0）=3

方法與技巧：函數圖像本身是函數的一種表示形式，但是對于許多學生是一個難點，對于數形結合沒有很好的利用。教學時強調用一次函數，二次函數，反比例函數，指數函數，對手函數，冪函數等初等函數；以及這些基本函數圖像的平移（如y+b=f（x+a））；分段函數等等用解析式表示是，先根據解析式做出函數圖像，就可以直觀的觀察出函數的單調性區間、最大值、最小值、函數的值域等問題。

例2、定義在實數R上的奇函數f（x），當x>0時，f（x）=x2-x；

計數f（0）； f（-1），

求f（x）的解析式；

解析：（1）奇函數f（x）的定義域是R，

f（-x）=-f（x） f（0）=-f（0） 即f（0）=0

函數f（x）是奇函數 ， 對定義域內的任意一個x，有f（-x）+f（x）=0

所以f（x）的圖像關于原點對稱當x>0時f（x）=x2-x頂點（1/2，-1/4）對稱軸x=1/2過點（1，0）開口方向向上，做出函數圖像。

所以關于原點對稱的頂點（-1/2，1/4） 對稱軸x=-1/2 過點（-1，0），開口方向向下，做出關于原點對稱的函數圖像 。

即 f（-1）=0

（2）由函數的圖像可以看出，當x<0時，f（x）是經過頂點（-1/2，1/4），對稱軸x=-1/2，開口向下的二次函數即x<0 時f（x）=-（x2+x）

綜上所述，當x>0時f（x）=x2-x 、當x=0時 f（x）=0、x<0 時f（x）=-（x2+x）

方法與技巧：根據奇函數的圖像關于原點的對稱性；給出函數的解析式做出一部分圖像，取圖像上的特殊點，根據對稱性做出另一部分圖像，根據圖像得出解析式；通過這一道題可以使學生感覺到函數圖像變化的美感，激發學生對函數深層次的研究，對函數從不同角度進行探究，感覺函數不同的表示形式之間的區別與聯系。

例3、已知不等式x2-loga x<0，當x∈（0，1/2）時恒成立，求實數a的取值范圍.

解析：由x2-loga x<0，得x2

（A）

（B）

由構造的兩個函數，在同一坐標系下做出 f（x）=x2，g（x）=loga x.圖像，圖像（A）是a>1，即x2>loga x，不符合題意.

圖像（B）是0

當0

loga（1/2）

得 1/16

∴a的取值范圍是（1/16，1）.

方法與技巧：構造函數圖像解不等式。不同類型的多項式組成的不等式、方程通過構造函數圖像解方不等式一目了然，對于同一自變量x來說，函數圖像在上方的函數值大；圖像在下方的函數值小。主要用于基本初等函數、指數函數、對數函數、冪函數和三角函數等不同類型的函數之間。通過觀察函數圖像的位置，解方程尋找函數圖像的交點的橫坐標，觀察圖像的位置，寫出不等式的解集。

數形結合的方法作為高中數學函數常用的方法之一，也是函數不同形式的表示，要通過數形結合的解題方法培養學生的思維品質，注重同一事物之間的相互轉化，把握他們之間的內涵和外延，善于從不同的角度、多方位的思考問題，突破定勢思維，把問題加以轉化，挖掘隱含條件，及時調整思維，尋找最佳的解題途徑，培養濃厚的學習興趣和頑強的學習毅力；勇于探究函數的創新精神。

作者簡介：

鄧正紅，男，（1974.10～），甘肅成縣人，陜西師范大學成州中學，數學教育，本科，中學二級。