探究高階行列式的計(jì)算方法

【摘 要】行列式是數(shù)學(xué)中重要的計(jì)算工具之一，而高階行列式的計(jì)算比較復(fù)雜，其基本方法和技巧是化零和降階。本文從行列式的定義、數(shù)學(xué)歸納法、展開定理、求根法、以及分塊矩陣法等得到計(jì)算行列式的幾種方法，其思想方法對(duì)于一般高階行列式的求解有一定的參考意義。

【關(guān)鍵詞】化零；降階；遞推；分塊矩陣

行列式的計(jì)算是行列式理論最重要的方面，n階行列式是比較復(fù)雜的一種，下面除行列式計(jì)算的傳統(tǒng)方法，還給出一些較新穎的方法，利用這些方法可以開闊思路快速解題。

一、應(yīng)用定義計(jì)算

例1：計(jì)算n階行列式

分析： 該行列式零元素很多，只有一項(xiàng)1、2、…、（n-1）、n 非零， 而這n 個(gè)元素行下標(biāo)按自然順序排列，則下標(biāo)排列為n、（n-1）、（n-2）、…、2、1， 由行列式的定義可得 ：

Dn=（-1）r（n（n-1）（n-2）…2.1）n！=（-1）[（n-1）（n-2）]/2n！

二、數(shù)學(xué)歸納法

假設(shè)要證明Dn=[b+（n-1）a]（b-a）n-1，則可對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法。

當(dāng)n=1時(shí)，Dn=D1=|b|=[b+（n-1）a]（b-a）n-1

當(dāng)n=2時(shí)，Dn=D2=||ba bb||=b2-a2=（b+a）（b-a）=[b+（2-1）a]（b-a）2-1=[b+（n-1）a]（b-a）n-1

當(dāng)n=k時(shí)，假設(shè)Dn=Dk=[b+（k-1）a]（b-a）k-1成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，有遞推法中的遞推式可知，Dk+1=（b-a）Dk+a（b-a）k

再由假設(shè)可得：DK+1=（b-a）[b+（k-1）a]（b-a）k-1+a（b-a）k=[b+（k-1）a+a]（b-a）k=[b+（k

+1-1）a]（b-a）k-1-1

所以，當(dāng)n=k+1時(shí)亦成立。

因此，對(duì)一切自然數(shù)n，Dn=[b+（n-1）a]（b-a）n-1都成立。

三、利用行列式按行（或列）展開定理

行列式按某一行（ 或某一列） 展開也是計(jì)算行列式的重要方法，這種方法常在某一行（列） 元素0比較多時(shí)運(yùn)用。

例2： 計(jì)算n階行列式

按第一列展開有Dn=xn+（-1）n+1yn

四、求根法

假設(shè)

顯然Dn=f（b）·f（x）是一個(gè)首系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式，當(dāng)x=a和x=-（n-1）a時(shí)，由前述部分可知，f（x）=0。所以，它們是方程f（x）=0的根。為確定其根的重?cái)?shù)，我們對(duì)f（x）求導(dǎo)，得

d

f'（x）=—dx

由上式可知，f'（a）=0，同理可知，f''（a）=f'''（a）=…=fn（a）=0，即x=a是方程f（x）=0的n-1次重根，所以，x=-（n-1）a是方程的單根。因此，f（x）可表示為：f（x）=a0（x-a）n-1[x+（n-1）a]

考慮到f（x）的首項(xiàng)系數(shù)為1。即a0=1。所以，f（x）即為：f（x）=[x+（n-1）a]（x-a）n-1。

當(dāng)x=b時(shí)，可得：Dn =f（b）=[b+（n-1）a]（b-a）n-1

實(shí)際上在計(jì)算行列式中，上述幾種方法可以同時(shí)交叉使用，最終目的是使行列式的運(yùn)算簡(jiǎn)潔、方便、正確。

參考文獻(xiàn)：

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編.高等代數(shù)，人民教育出版社，1983

[2]錢芳華，黎有高，卜淑云，鄧培民，編著.高等代數(shù)習(xí)題課教材，桂林 ：廣西師范大學(xué)出版社出版，1996