極限思想求極限的幾種方法

【摘 要】本文系統地介紹了利用定義證明、無窮小量代換、洛比達法則等求極限的方法，并結合具體的例子，指出了在解題過程中常遇見的一些問題。

【關鍵詞】極限；計算方法；技巧

一、引言

高等數學以函數作為研究對象，以極限方法為基本方法，以微積分學為主要內容的一門學科極限理論和極限方法在這門課程中占有極其重要的地位。極限理論和極限方法的主要內容在數學發展這條路線是很重要的。許多高等數學深層次的理論及應用都用到了極限的思想，例如連續導數和積分等都是通過極限定義的，離開了極限思想，高等數學就喪失了它基本的價值，并且極限操作是較高的數學基本的算術。由于極限定義很抽象，很多時候我們無法從定義的角度求出函數的極限，又由于極限運算分布在整個高等數學體系，許多重要的概念是由極限定義的。所以極限知識是研究導數、各種積分等的基本工具。本文給出了幾種常見求極限的方法，如定義，等價無窮小量，二項式展開式等方法，并配有例題解釋說明。

二、求極限的方法

1.利用極限定義證明極限

前提：知道數列（函數）的極限值；

關鍵：尋找盡可能小的N

基本方法：

（1）求N：從不等式|an-a|<ε直接解出n；

（2）分步法：對n不作限制，便無法化簡和放大，因此先限定n﹥N1，然后按需求求得N2，于是所求的N=max{N1，N2}；

（3）適當放大法：不等式|an-a|<ε較為復雜，無法直接解出，或求解的過程較繁，為此先將表達式|an-a|進行化簡，并適當放大，使之成為關于n的簡單函數H（n）（仍為無窮小量），即|an-a|

2.利用等價無窮小求極限

這些可將復雜函數的極限用簡單函數的極限代替簡化其計算。

若f（x）與g（x）都是無窮小量，且g（x）≠0，時稱f（x）與g（x）是等價無窮小量表示為f（x）～g（x），因為當f（x）～g（x）（x→a）時可寫為是無窮小量從而f（x）=g（x）[1+d（x）]。

注意，在乘積或相除時可以隨意替換，但在和差時，等價替換不能用。

注：這種方法中一般首先要找出函數的等價無窮小。

3.洛必達法則

洛必達法則是求解不定式極限的有效工具。數列極限可轉化為相應的函數極限，然后利用洛必達法則求解。洛必達法則只直接適用于0/0，∞/∞不定式，而

0·∞，∞-∞型未定式通過恒等變形可化作0/0，∞/∞型。而00，∞0，1∞型未定式則通過取對數化作0/0，∞/∞型。因此在使用洛必達法則每個步驟都要檢查式子是否滿足洛必達法則條件。此外，還應注意及時化簡算式，把已知極限的式子分離出來并求出極限，再對不定式部分使用洛必達法則。

例1：求

解：先分子有理化再使用等價無窮小替換，然后使用洛必達法則可得

注：在使用洛必達法則時，往往需要先對等式進行初等變換，再在不同階段使用等價無窮小替換，時刻注意將非零因子從極限式中分離出來，以簡化計算過程。

4.中值定理法

在求函數F（x）的極限時，如果能根據F（x）的特點尋得一個新的可微函數f（t），然后借助中值定理問題往往會得到巧妙的解法。

例2：求.

解：對函數f（t）=et在以x和sianx（x≠0）為端點的閉區間上用微分中值定理有

，

即 （ε在x與sinx之間）

因為當x→0時，有ε→0

所以

三、總結

在極限問題中證明極限存在及極限的計算方法是十分重要的。本文歸納了極限計算的一些方法和技巧，同學們在使用時要針對不同的情況采用不同的方法。極限的計算又是解決實際問題必不可少的數學工具，它在物理學，工程學學科上都有廣泛的應用。

參考文獻：

[1] 華東師范大學數學系.數學分析[M].第四版.北京：高等教育出版社，2001

[2] 朱勻華，極限運算的方法和技巧.廣東：廣東科技出版社，1991