空間向量在立體幾何中的應用

〔關鍵詞〕 數學教學；空間向量；立體幾何；應用

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2013）14—0074—01

作為現代數學的重要標志之一的向量已進入了中學數學教學，為用代數方法研究幾何問題提供了強有力的工具，促進了高中幾何的代數化.而在高中數學體系中，幾何占有很重要的地位.有些幾何問題用常規方法去解決往往比較復雜，運用向量作形與數的轉化，則使過程得到大大的簡化.向量法應用于平面幾何中時，它能將平面幾何許多問題代數化、程序化，從而使問題得到有效的解決，體現了數學中數與形的完美結合.立體幾何常常涉及到的兩大問題：證明與計算，用空間向量解決立體幾何中的這些問題其獨到之處，在于用向量來處理空間問題，淡化了傳統方法的有“形”到“形”的推理過程，使解題變得程序化.

一、空間三大角（即線線角、線面角、二面角）用向量法求解的“對接點”

1.線線角a（a∈[0，]）的求法的認識：在這兩條線上適當取兩個向量，問題就轉化為兩個向量的夾角的問題，即cosa=|cos<，>|=||=.對這個公式我們還可以這樣認識：cosa=（是的單位向量），這剛好滿足三角函數中余弦的定義：鄰邊比斜邊.

2.線面角（∈[0，]）的求法的認識：sin=

|cos<，|=（其中為平面a的一個法向量），對這個公式我們還可這樣認識：sin=（是的單位向量），這剛好滿足三角函數中正弦的定義：對邊比斜邊.

3.二面角的平面角（∈[0，仔]）的求法的認識：|cos|=|cos<，>|=（其中與是兩二面角所在平面的法向量），對這個公式我們還可這樣認識：|cos|==，這剛好滿足三角函數中余弦的定義：鄰邊比斜邊.

二、空間向量在立體幾何中的應用

例，如右圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=2，AA=1，直線BD與平面AA1B1B所成的角為30°，AE垂直BD于E，F為A1B1的中點.

（I）求異面直線AE與BF所成的角；

（II）求平面BDF與平面AA1B所成的二面角；

解：建立如下圖所示的空間直角坐標系，則A（0，0，0），B（2，0，0），F（1，0，1），E，，0，D0，，0

（I） 因為=，，0，=（-1，0，1），所以cos<，>=·==

-，易知異面直線AE、BF所成的角為arccos.

（II） 易知平面AA1B的一個法向量=（0，1，0），設=（x，y，z）是平面BDF的一個法向量，=（-2，，0）.由·=0·=0

-x+z=02x-y=0x=zx=y，即=（1，，1），所以cos<，>=·=，即平面BDF與平面AA1B所成二面角的大小為arccos.編輯：謝穎麗