平均值不等式

摘 要：介紹了一些常見(jiàn)的平均值不等式的運(yùn)用技巧，并分別舉出與其對(duì)應(yīng)的例題.

關(guān)鍵詞：平均值不等式；運(yùn)用技巧；例題

平均值不等式是高中數(shù)學(xué)不等式一章中的最基礎(chǔ)、應(yīng)用最廣泛的靈活因子，它是考查學(xué)生素質(zhì)能力的一個(gè)窗口，是高考和競(jìng)賽的熱點(diǎn)，它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常重要的作用.

因此，本文總結(jié)了一些常見(jiàn)平均值不等式的運(yùn)用技巧，并對(duì)相關(guān)技巧分別舉例.

平均值不等式是不等式的重要內(nèi)容之一，在不等式證明有廣泛的應(yīng)用，但是在處理有關(guān)平均值不等式的證明問(wèn)題時(shí)，并非每一個(gè)問(wèn)題都可以看出它是否可以使用均值不等式，這就存在一個(gè)如何創(chuàng)造使用均值不等式的環(huán)境問(wèn)題.此時(shí)會(huì)用到平均值不等式的一些運(yùn)用技巧.

一、拆項(xiàng)法

注意到使用n次平均值不等式的前提必須是有n個(gè)和項(xiàng)或積項(xiàng)（注：在高中階段只要求n=2或n=3兩種情況），有時(shí)題設(shè)不具備n個(gè)項(xiàng)，這時(shí)我們可以考慮把一項(xiàng)或幾項(xiàng)進(jìn)行分拆，產(chǎn)生n個(gè)項(xiàng)，以創(chuàng)造均值不等式的使用環(huán)境.

例1.已知a>b>0，求證a+■≥3.

證明：由a>b>0知，a-b>0，■>0，

于是a+■=（a-b）+b+■≥3■=3

當(dāng)且僅當(dāng)b=a-b=■，即a=2，b=1時(shí)等號(hào)成立.

二、添項(xiàng)法

對(duì)不具備使用平均值不等式條件的關(guān)系式，添加一些關(guān)系式，創(chuàng)造均值不等式使用環(huán)境，也是一種常用手段.

例2.設(shè)x1，x2…，xn都是正數(shù)，求證：■+■+…+■+■≥x1+x2+…+xn

（1984年全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

分析：由于左右兩邊均為和和式，直接使用均值不等式受阻，所以必須對(duì)原關(guān)系式填項(xiàng)，其目的一是去分母，二是降次.

證明：由x1，x2∈R+，知■+x2≥2■=2x1

同理可得■+x3≥2x2…，■+xn≥2xn-1，■+x1≥2xn

將這n個(gè)不等式兩邊分別相加，得到

所以■+■+…+■+■+（x2+x3+…+xn+x1）≥2（x1+x2+…+xn）

所以■+■+…+■+■≥x1+x2+…+xn

三、減項(xiàng)法

多元輪換對(duì)稱(chēng)不等式，常可利用減元或減項(xiàng)的方法化為二元不等式，創(chuàng)造使用均值不等式的環(huán)境，然后輪換相加，以達(dá)到證明目的.

例3.已知a、b、c∈R+，求證：■+■+■≥■+■+■.

分析：考慮到待證不等式為三元輪換對(duì)稱(chēng)不等式，減元c，即為■+■≥■，由此不等式輪換相加即可.

證明：因?yàn)閍、b、c∈R+，所以：■+■≥2■=■≥■

同理可證■+■≥■，■+■≥■

三個(gè)不等式相加即得：■+■+■≥■+■+■

四、代換法

此方法多用于含三角函數(shù)的題，可想辦法將其用變量代換.

例4.0

（1999年河南省高二競(jìng)賽題）

解：令tan■=t，由00，所以y=■=■+■=■+t=■+■t≥2■=■.當(dāng)且僅當(dāng)■=■t即t=■，此時(shí)x=■，上式取“=”號(hào)，故ymin=■.

五、改變結(jié)構(gòu)法

有些不等式僅從式子結(jié)構(gòu)上看并不具備使用均值不等式的環(huán)境，但如果對(duì)結(jié)構(gòu)式做適當(dāng)?shù)淖兓鉀Q的方式就一目了然了.

例5.已知ai、bi，∈R+，i=1，2，3.求證：

■≥■+■

分析：作恒等變形，改變待證不等式的結(jié)構(gòu)，即要證

■+■≤1

事實(shí)上， ■≤■（■·■·■）■≤■（■·■·■）兩式相加即可得證.

平均值不等式始終貫穿于高中數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)中，它是不等式的基礎(chǔ)，是應(yīng)用最廣泛的靈活因子.本文主要介紹的一些常見(jiàn)平均值不等式的運(yùn)用技巧，體現(xiàn)了平均值不等式在數(shù)學(xué)問(wèn)題中的靈活性、廣泛性與重要性.

參考文獻(xiàn)：

戴永.知識(shí)專(zhuān)題與方法技巧（高中數(shù)學(xué)）.天津：天津科學(xué)技術(shù)出版社，2004.

（作者單位 內(nèi)蒙古自治區(qū)呼倫貝爾市海拉爾區(qū)謝爾塔拉中心學(xué)校）

？誗編輯 魯翠紅