巧解彈簧類的兩體問題

摘 要：兩體問題是質點組動力學中一個特殊問題。它涉及兩個物體相對于地面的運動，同時又相互制約。解決兩體問題對學生而言是一件比較困難的事情。如果能夠采用質心組的思想，利用運動的合成和分解處理問題，會起到意想不到的效果。

關鍵詞：巧解；彈簧類；兩體問題

例1.兩個滑塊1和2，質量分別為m1和m2，用輕彈簧連接在一起，彈簧的原長為L0，勁度系數為k，整個系統放置在光滑水平軌道上。一開始用輕繩系住兩物體，使彈簧處于壓縮狀態并處于靜止。如圖1所示，某一時刻剪斷輕繩，求兩物體相對于質心的運動。

解析：以地面為參照系，需要對兩個物體列牛頓定律方程，同時借助兩者之間的關聯方程。通過解微分方程可以獲得兩物體相對于質心的運動方程。此處不再敘述。下面以質心組的思想分析該問題。根據系統的動量守恒，可以知道不管物體m1和m2如何運動，系統的總動量和一開始相等，即總動量為零。根據質心組思想，系統的質量歸于一點，則該點處于靜止狀態。由質心組xc=■可知，質心距m1的距離L1=■。原題的場景即可等效為圖2所示的L1=■的彈簧1系著m1和L2=■的彈簧2系著m2固定在同一點。相互關聯的兩個物體被等效為兩個獨立的運動場景。彈簧1的勁度系數為k1=■，彈簧2的勁度系數k2=■。根據簡諧振動的知識，我們不難求解出兩個物體的振動周期同為T=2π■，所以兩個物體相對于質心做周期相同的簡諧振動。

拓展：該系統一開始m1獲得一個瞬時速度v1，根據動量守恒可得：m1v1=（m1+m2）v，以質心為參照系，m1和m2同樣是做周期相同的簡諧振動。由運動的合成和分解可知，m1和m2的對地運動是相對于質心的簡諧振動和與質心一起的勻速運動合成而來。

這樣的思想滲透到平時的問題處理中，會起到省時省力的效果。

例2.如圖3在光滑水平面上，有兩物體A、B，A質量為2 kg，B質量為4 kg，兩物體由彈簧相連，處于靜止狀態，現給A一個6 m/s的初速度，問兩物體的最大、最小速度分別為多少？

解析：我們將A、B兩物體的運動看成A、B兩物體的質心的勻速運動和A、B兩物體關于質心的振動的合成。也就是質心運動定理的拓展之一：如果一個質點系的質心原來是運動的，那么在無外力作用的條件下，這個質點系的質心將以原來的速度做勻速直線運動。

根據：mAvA=（mA+mB）v得：v=2 m/s

即兩物體的質心以2 m/s的速度平動，而兩個物體A、B以2 m/s為平衡速度振動。則可得到：

A的最大、最小速度在2 m/s的兩側，？駐v=4 m/s。即VAmax=6 m/s，VAmin=-2 m/s

B的最大、最小速度在2 m/s的兩側，？駐v=2 m/s。即VBmax=4 m/s，VBmin=0 m/s

我們只要根據動量守恒定律求得兩者的共同速度之后，就可以根據簡諧振動的對稱性求的各個物體關于平衡速度的速度變化量，進而求得各物體的最大、最小速度。并且可以輕易地畫出各個物體的v-t圖像。并根據圖像判斷其他的問題。

例3.用輕彈簧相連的質量均為2 kg的A、B兩物體都以v=6 m/s的速度在光滑的水平地面上運動，彈簧處于原長、質量4 kg的物體C靜止在前方，如圖4所示，B和C碰撞后二者粘在一起運動，求：在以后的運動中A的速度有沒有可能向左？

解析：通常判定A能否向左運動，我們都是假設A的速度為零時，根據動量守恒和能量守恒方程解出彈性勢能的值，再作出判定。如果根據運動合成的觀點，B和C碰撞，由動量守恒觀點得：mBV■+mCV■=（mB+mC）v1，v1=2 m/s。B和C構成的整體M與A相互作用，由動量守恒得：mAV■+Mv=（mA+M）v2，v2=3 m/s。即A以3 m/s為平衡速度做簡諧振動。由此可知Δv=3 m/s，則A的最小速度即為0。即可迅速判定A不可能向左運動。

（作者單位 江蘇省揚中高級中學）

編輯 王志慧