讓思路行走在動與不動之間

摘 要：動點問題在中考中出現頻率很高，占分比例大，同時難度也不小，不少學生感覺綜合性太強，難以把握。通過多年的教學實踐，總結出了研究圖形明確條件，構建含t代入式、列出等量關系式，以及利用方程、函數式解決問題的四步法，效果十分不錯。

關鍵詞：中考數學；動點問題；思路探究

動點問題是中考里綜合性很強的一種高端題，占分比例大，它依據多樣化的幾何圖形，設計出動態化的幾何情境，需要學生通過分類、想象和畫圖等手段，正確找到其中的內在關系，再運用方程思想或函數思想解題，涉及數形結合、分類、轉化等多種數學思想。在這個復雜的過程中，充滿著挑戰，也充滿著智慧，如何才能讓學生順利掌握解題的思路與技巧？我在教學中總結了一套實用、有效的解題思路。

一、研究圖形，明確動點及其方向、速度

面對一道動點題，首先要做的就是研究其圖形，在圖上找到動點的出發點、路徑線段，以及運動方向（可以用筆在線段旁做上標記），這是解題的基礎。在進行這一步時，不必忙著看下面的題目要求，而要按照解題的思路，逐級進行。如做這樣一道題：

如圖1，△ABC是邊長為6的等邊三角形，動點F、E同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC勻速運動，點F、E運動的速度分別為1單位/s、2單位/s，當點E到達C時，F、E都停止運動，設運動時間為t（s）。則①當t=2時，判斷△BFE的形狀，并說明理由；②設△BFE的面積為S，求S與t的函數關系；③作EM平行于BA，交AC于點M，連接FM，當t為何值時，△AFM∽△FME。

對此，需要先在圖中找到F、E點，以及F、E兩點分別沿線段AB、BC勻速運動的方向，掌握兩者的速度分別為1單位/s、2單位/s，并且當E運動到點C的時候，F、E都停止了運動。

如果把動點比作一個演員的話，這些內容將成為它表演的舞臺，我們只有對所有可利用的條件了然于胸，才能迅速找準、找對之后的求證和計算之路。

在教學動點問題的初期，這一步可以利用幾何畫板作輔助展示，將一些題設和圖中沒有給出的情況，也畫出來，以提高學生的空間想象力和作圖能力。

二、以含時間t的代入式表示相關的線段

研究圖形完畢，掌握了相關的已知條件之后，隨即便要運用數形結合的思想，將與問題相關的線段（動點運動的路程以及未走的路程）都用含有時間t的代入式來表示。這個代入思維，在較復雜的題目中，常要依據圖形的特點進行形與數的轉換，以構建代入式。上面的題目比較簡單，只需觀察線段之間的關系，即可獲得如下結論，用代入式表述為：

AF=t，FB=6-t，BE=2t，EC=6-2t

則相關的四條線段均用含時間t的代入式表示完畢，在中考中，解決了這一步就可以拿到1分。其中的重點在于關注學生對圖形的性質和數量關系的理解，只有比較全面地掌握了相關的幾何知識，才能在遇到之時毫無阻礙、手到擒來。因此，圖形性質、定理等知識的歸類、梳理，應當成為動點教學的重點之一。

在例題中，對于①問，只要解決了這關鍵的一步，問題也就基本解決了：當t=2時，BF=6-2=4，BE=2×2=4，

基于FB=BE=4

又∵∠B=60°

∴△BFE是等邊三角形

三、借圖形相關知識列出等量關系

等量關系的建立，來自不變的靜態幾何關系，因此有不少教師在描述解決動點問題的關鍵詞時，都會用到“以靜制動”的提法。其實，就是無論動點怎么運動，都是在一定的圖形中，遵循一定條件進行的，要依賴于它們的某些基本性質與特征，于是運動的點才有了著落。故只要始終握住那些不動的量，再將變量置于其中，就能夠在動與不動之間建立方程式、函數式……

在②問中，涉及△BFE的面積問題，面積問題需要作高，這時底的定奪不是一成不變的，只要便于建立數學聯系，哪一個作為底都可以，通常將已知的線段作底。

于是作EH⊥BF，交BF于點H（圖2所示）

∵∠FBE=60°，∠BHE=90°

∴在△BHE中，EH=BE·sin60°=2t·■=■t

∴S△BFE=■=■t×（6-t）÷2=-■t2+3■t

∴S=-■t2+3■t

等量關系常暗含在特殊圖形的固定關系中，需要學生能從各種特殊多邊形一系列的性質、公式、定理、推論等中，挑選出可加以利用的部分，于是，在動點問題的教學中，幫助、引導學生歸納總結不同圖形的性質、判定、公式、定理等，便理所當然成為了一個重點。

四、利用函數、方程等知識，解決問題

動點問題中點的運動，在已知與未知之間形成了某種有規律的變化，為揭示這種有規律的數量變化，需要運用函數式、方程式等來表示，而這正是解決整個動點問題的瓶頸，打破瓶頸最難的一步是應用相等關系、公式定理、圖形性質等建立函數式、方程式。其難點在于要從眾多的基礎知識中搜索出可以建立式子的依據，而且常常這些依據還不止一個，解題時還要依次形成正確的順序。如，在解決例題中的③時，就依次用到兩直線平行內錯角相等、相似三角形的兩組對應邊成比例，平行線分線段成比例等定理、性質。

∵EM//BA

∴∠EMC=∠A=60°，∠MEC=∠B=60°

又∵∠C=60°

∴△CEM是等邊三角形，

∴CM=EM=EC=6-2t

∵BH=BE·cos60°=2t·■=t

∴HF=AB-AF-BH=6-t-t=6-2t

∴HF//EM，HF=EM

∴四邊形HFME是平行四邊形

∴FM=HE=■t

又∵∠FHE=90°

∴∠AFM=∠FME=90°

∵△AFM∽△FME

∴∠EFM=∠A=60°

∴tan60°=■

即■=■

解得t=■∴當t=■時，△AFM∽△FME

理清這樣一個過程，其實就是在宏觀俯視問題的基礎上，在現有已知條件中，分化問題到不同的圖形，于是復雜的問題便得到了相對的簡化，再從不同圖形的性質、判定、公式、定理等中找到可利用的等量關系，從而構成函數、方程式，這個過程往往會殊途同歸，只要能走得通，走得簡練，便是好路。

在教學中，動點問題涉及的知識點都是比較多的，要想按照既往的教學方式，采用多做題來形成或強化學生的解題思路，個人覺得有一定難度，不如將題目逐一清晰明了剖析給學生來得有效，分析一題，就要讓學生完全明白一題，不僅要明白怎么解決該題，更重的是要從中抽象出規律性的思路，然后在做題過程中，強化的就是這個思路，而不是每一道題的變化，讓學生的思路行走在動與不動之間。

參考文獻：

朱紅.淺談中考中動點問題的解決方法[J].新課程學習：中，2012（5）.

（作者單位 江蘇省徐州市第26中學）

編輯 王志慧