以“必修一《函數的單調性》”為例談合理設計教案

2013-12-31 00:00:00張巧鳳

中學課程輔導·教師教育(上、下) 2013年21期

摘要：筆者認為，對于新概念課的教學，教師應該把握所教的知識在整個教材中的地位與作用，根據教學的要求，定位重難點，深入鉆研教材教參，從不同角度、不同層次構建概念的理解，合理、科學地設計教學方案，順應學生的認知，讓數學概念在課堂中自然生成。

關鍵詞：函數的單調性；概念的理解；教學設計

中圖分類號：G427文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2013）21-059-2

函數是整個高中的核心知識點，而函數的單調性是函數的第一個重要性質，為了上好這一節函數的單調性的入門課，我認真研究了課標、教材與教參中與之相關的內容，也認真翻閱了相關的雜志，比較與學習了別人的教學設計與教學看法，對這一節內容也有了更深一層的理解，同時也對這一節內容的教學有了一些新的想法。我對這一節內容的教學設計來源于整體把握它的教材地位，準確定位它的重難點，通過構建概念的理解，本著“能引發學生認知沖突，符合學生的認知規律”的原則，在學生的“最近發展區”內實現重難點的突破。

一、整體把握教材，明確“函數的單調性”在高中數學課程中的地位與作用

首先，從單調性知識本身來講，學生對于函數單調性的學習共分為三個階段，第一階段是在初中學習了一次函數、二次函數、反比例函數圖象的基礎上對增減性有一個初步的感性認識；第二階段是在必修一教材進一步學習函數單調性的嚴格定義，從數和形兩個方面理解單調性的概念；第三階段則是在選修教材利用導數為工具研究函數的單調性。必修一教材的學習既是初中學習的延續和深化，又為選修教材中的學習奠定基礎。

其次，從函數角度來講，函數的單調性是學生學習函數概念后學習的第一個函數性質，也是第一個用數學符號語言來刻畫的概念。函數的單調性與函數的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時函數值的變化規律；學生對于這些概念的認識，都經歷了直觀感受、文字描述和嚴格定義三個階段，即都從圖象觀察，經歷用符號語言刻畫圖形語言。因此，函數單調性的學習方法為進一步學習函數的其他性質提供了依據。

最后，從學科角度來講，函數的單調性是學習函數最值（或值域）、不等式、極限、導數等其他數學知識的重要基礎，是解決數學問題的常用工具，也是培養學生邏輯推理能力和滲透數形結合思想的重要素材。

二、分析高中兩個階段的教學要求，定位本節課的重難點

通過上面的分析，函數單調性是一個非常重要的數學概念，高中要分兩個階段才能完整地把它學完，所以需要我們有整體的認識，分析每一個階段的教學要求及要解決的重點問題。那么必修一的函數單調性入門課如何定位呢？

我們數學老師有兩種不同的看法：一種認為“必修一函數單調性入門課的重點是掌握判斷與證明函數的單調性的方法”；另一種認為“必修一函數單調性入門課的重點單調性概念的形成與理解”。

我認為，只有整體上認識和把握高中數學課程，才能準確定位每一個內容。關于函數單調性的判斷與證明，在后面的選修教材中，我們還將用學習一種新而更簡單的方法——導數的方法來判斷與證明函數的單調性。所以，在函數的單調性的入門課中，教師沒有必要把大量的時間與精力花在判斷與證明函數的單調性上。

所以，我認同第二種教學定位，在單調性入門課的教學中，重點應該是單調性概念，讓學生體驗概念的產生和發展過程，經歷從具體的感性認識到抽象的理性概括過程。在學生理解函數的單調性的概念后，教師通過一些簡單的函數的單調性的判斷與證明，讓學生清楚單調性的判斷與證明的方法與步驟。

三、再次研讀必修一教材，構建概念的理解，合理設計教學方案

1.教材內容陳述

為了更好地構建概念的理解，體會教材編寫的意圖，我再次研讀了2013年的蘇教版必修一與人教版必修一兩種版本的教材，下面摘錄這兩種版本的教材中“函數的單調性”這一節的內容，為了方便分析，略修改成以下幾個步驟：

蘇教版：

（1）如圖（課本37頁），是氣溫θ關于時間t的函數，記為θ=f（t），觀察這個函數的圖象，說出氣溫在哪些時間段內是逐漸升高的或是下降的？

（2）提出問題：怎樣用數學語言刻畫上述時段內“隨著時間的增加氣溫逐漸升高”這一特征？

（3）給出定義

（4）數學運用

2.建構概念的理解

根據前面的分析，單調性的概念是難點，概念中的“任意兩個x1，x2”的得到與理解是教學的難點，基于對教材的思考，我認為對單調性的概念的得到與理解要經歷三個層次。

（1）圖形化的理解。這一層次的理解是指從圖形的走勢來理解函數的單調性的。通過觀察一定函數的圖像“上升與下降”的走勢特征，讓學生對函數的單調性有直觀的印象。

圖形化的理解是以圖形為基礎，直觀形象，能調動人的視覺活動，從而使理解的對象容易被感知與記憶。這種理解有幾個特點：第一，圖形化（看圖觀察得出的）；第二，動態化（即所謂“上升的”“下降的”）；第三，有方向（即應該表明“從左至右看”，而教材中沒有明確說出，只是依照習慣暗示）；第四，整體化（上升表現在整個y軸右側的圖像，也就是在x軸的正半軸上，即在區間[0，+∞）上）。

（2）關系化的理解。這一層次的理解是指從函數的角度，以兩個變量x與y的變化關系來理解函數的單調性的。“隨著x的增大，相應的f（x）也隨著增大”，這句話就是從x與y的變化關系來表達函數單調遞增的特性。這里的理解是緊接著上面推進的。函數的圖像是由點構成的，圖像的“上升”轉化為點的“運動”來表述，而點的“運動”又聯系了坐標x與y的“變化”關系。

用函數的圖像來表達函數時，圖像上的點與坐標就搭建了x與y關系的橋梁。這里，實質上反映了函數、圖像和點之間的關系。于是，這種理解以函數的概念為基礎將圖形化的理解轉移到x與y的變化關系來理解。這里仍然有“動態化的、有方向的、整體化的”特征，因此容易被理解與接受。這一層次的理解承上啟下，既能把關注點從圖像轉移到x與y的變化關系，又為下一層次的理解奠定基礎。

（3）離散化的理解。這一層次的理解是指將x與y的整體變化關系離散成兩個點中x與y的數量比較關系。“在區間（0，+∞）上，任取兩個x1，x2，當x1

3.教學設計與教學實錄（概念形成與例題的片段）（略）

四、整個教學設計過程的準備與思考

1.認真研究“《數學課程標準（實驗）》”有關函數單調性的教學要求，比較與研究蘇教版與人教版的教材及教參；

2.充分研究函數的單調性在整個高中數學課程中的地位與作用，確定這一節課重點要解決的問題以及這一節難點在哪里；

3.參閱了大量有關函數單調性的教學設計、教案、課件、視頻，比較學習與借鑒別人的實踐經驗與方法；

4.參閱了雜志上的概念教學理論、課堂實踐與思考的有關文章；

5.與同事、同行多次討論交流，從課堂教學設計的依據、出發點，到教學重點、難點突破、教學過程，各個環節都進行了討論交流，幾經修改，最后定稿。

通過這節課的設計與教學，我有幾點思考：

1.新課程下的數學教學首先要讓學生知道知識是如何產生的，而不是強加給學生。單調性的定義讓同學們從“圖形和數量關系”兩個方面去認知，它經歷了由圖象直觀特征到自然語言描述，再到數學符號描述的推進過程，要讓這個推進過程是自然的，水到渠成的。

2.要精心預設課堂可能出現的多種情況，同時要靈活課堂生成，讓學生碰創出思維的火花，培養學生善思考，樂鉆研的思維品質。

3.在教學設計與實施中，要研讀課程標準、教材、教參。首先要明確本知識在整個高中教材的地位，而不是孤立的教這一節課，定位本節課要解決的關鍵問題。