一個(gè)古老游戲取勝的最佳操作策略

摘 要：這是一個(gè)關(guān)于“操作”的問題，“操作問題”作為一類智力問題，廣泛存在于民間游戲中，他們普遍難度不大。但也有一些難度大的“操作問題”，經(jīng)常出現(xiàn)在數(shù)學(xué)競賽中。一般來說都有取勝的規(guī)律，即最佳策略。本題也一樣，只要按照一定的規(guī)則去取石子，首先取石子的人總可以贏得比賽。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)游戲 游戲規(guī)則 中學(xué)生 對角線 數(shù)理化 老師 題目

中圖分類號：G63文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2013）05（b）-0230-01

有這樣一個(gè)古老的二人玩的游戲，桌子上放三排石子，第一排3個(gè)石子，第二排4個(gè)石子，第三排6個(gè)石子。游戲規(guī)則為：每人每次可以取走某一排中的若干（大于0）個(gè)石子，二人輪流取。規(guī)定取最后一個(gè)石子的人輸。

下面筆者就探討此游戲取勝的最佳策略。

首先把此問題化為數(shù)學(xué)問題：設(shè)有三個(gè)集合A、B、C，集合中分別有3、4、6個(gè)元素，即card（A）=3，card（B）=4，card（C）=6，甲乙二人輪流從集合中取元素，規(guī)定每人每次可以取走某一個(gè)集合中的若干（大于0）個(gè)元素，誰取得這13個(gè)元素的最后一個(gè)元素誰輸。證明：如果甲先取，則乙必輸。

我們先從最簡單處入手，循序漸進(jìn)的證明。條件由少到多，有：

結(jié)論1：當(dāng)兩個(gè)集合M、N中元素相等且不低于2個(gè)時(shí)，先取者必輸。

證明：不妨設(shè)card（M）= card（N）=k，k為大于等于2的整數(shù)，乙先取。

1）若乙取集合M中的（k-1）個(gè)元素，則甲取集合N中的k個(gè)元素，于是集合M中剩最后1個(gè)元素歸乙取，乙輸。

2）若乙取集合M中的k個(gè)元素，則甲取集合N中的（k-1）個(gè)元素，于是集合N中剩最后1個(gè)元素歸乙取，乙輸。

3）若乙取集合M中的r（r小于k-1）個(gè)元素，則甲取集合N中的r個(gè)元素，這樣集合M、N各剩k-r個(gè)元素，于是化為上面的情形，乙輸。

綜上，結(jié)論1成立。

結(jié)論2：當(dāng)三個(gè)集合A、B、C各有一個(gè)元素時(shí)，先取者必輸。

證明：不妨設(shè)乙先取，不管乙取哪一個(gè)，甲只需取余下的其中任一個(gè)，于是乙輸。

結(jié)論3：當(dāng)三個(gè)集合A、B、C分別有1、2、3個(gè)元素時(shí)，先取者必輸。

證明：不妨設(shè)card（A）=1，card（B）=2，card（C）=3，乙先取。

1）若乙取集合A中的1個(gè)元素，則甲取集合C中的1個(gè)元素，于是集合B、C中各剩2個(gè)元素，由結(jié)論1，乙輸。

2）若乙取集合B中的1個(gè)元素，則甲取集合C中的2個(gè)元素，于是集合A、B、C各剩1個(gè)元素，由結(jié)論2，乙輸。若乙取集合B中的2個(gè)元素，則甲取集合C中的3個(gè)元素，于是集合A剩1個(gè)元素，乙輸。

3）若乙取集合C中的1個(gè)元素，則甲取集合A中的1個(gè)元素，于是集合B、C中各剩2個(gè)元素，由結(jié)論1，乙輸。若乙取集合C中的2個(gè)元素，則甲取集合B中的1個(gè)元素，于是集合A、B、C各剩1個(gè)元素，由結(jié)論2，乙輸。若乙取集合C中的3個(gè)元素，則甲取集合B中的2個(gè)元素，于是集合A剩1個(gè)元素，乙輸。

綜上，結(jié)論3成立。

結(jié)論4：當(dāng)三個(gè)集合A、B、C分別有1、k、k+1個(gè)（k大于2）元素時(shí)，先取者必輸。

證明：不妨設(shè)card（A）=1，card（B） =k，card（C）=k+1，乙先取。

1）若乙取集合A中的1個(gè)元素，則甲取集合C中的1個(gè)元素，于是集合B、C中各剩k個(gè)元素，由結(jié)論1，乙輸。

2）若乙取集合B中的r個(gè)元素，則甲取集合C中的r個(gè)元素，使集合B、C保持相差1個(gè)元素，循環(huán)下來總可以變?yōu)榻Y(jié)論2、結(jié)論3情形，乙輸。

綜上，結(jié)論4成立。

上面證明了最基本的四種情形，所以，只要甲能夠控制局面，使出現(xiàn)上面的四種最基本情形，則乙必輸。下面證明，只要甲采取最佳策略，先取集合A中的1個(gè)元素，就可以控制局面從而出現(xiàn)上面的三種最基本情形。

證明：甲先取集合A中的1個(gè)元素，則card（A）=2，card（B）=4，card（C）=6。

這時(shí)，乙取

1）若乙取集合A中的1個(gè)元素，則甲取集合C中的1個(gè)元素，則card（A）=1，card（B）=4，card（C）=5。為結(jié)論4情形，乙輸。

2）若乙取集合A中的2個(gè)元素，則甲取集合C中的2個(gè)元素，則card（B）=4，card（C）=4。為結(jié)論1情形，乙輸。

3）若乙取集合B中的1個(gè)元素，則甲取集合C中的5個(gè)元素，則card（A）=2，card（B）=3，card（C）=1。為結(jié)論3情形，乙輸。

4）若乙取集合B中的2個(gè)元素，則甲取集合C中的6個(gè)元素，則card（A）=2，card（B）=2。為結(jié)論1情形，乙輸。

5）若乙取集合B中的3個(gè)元素，則甲取集合C中的3個(gè)元素，則card（A）=2，card（B）=1，card（C）=3。為結(jié)論3情形，乙輸。

6）若乙取集合B中的4個(gè)元素，則甲取集合C中的4個(gè)元素，則card（A）=2，card（C）=2。為結(jié)論1情形，乙輸。

7）若乙取集合C中的1個(gè)元素，則甲取集合A中的1個(gè)元素，則card（A）=1，card（B）=4，card（C）=5。為結(jié)論4情形，乙輸。

8）若乙取集合C中的2個(gè)元素，則甲取集合A中的2個(gè)元素，則card（B）=4，card（C）=4。為結(jié)論1情形，乙輸。

9）若乙取集合C中的3個(gè)元素，則甲取集合B中的3個(gè)元素，則card（A）=2，card（B）=1，card（C）=3。為結(jié)論3情形，乙輸。

10）若乙取集合C中的4個(gè)元素，則甲取集合B中的4個(gè)元素，則card（A）=2， card（C）=2。為結(jié)論1情形，乙輸。

11）若乙取集合C中的5個(gè)元素，則甲取集合B中的1個(gè)元素，則card（A）=2，card（B）=3，card（C）=1。為結(jié)論3情形，乙輸。

12）若乙取集合C中的6個(gè)元素，則甲取集合B中的2個(gè)元素，則card（A）=2， card（B）=2。為結(jié)論1情形，乙輸。

綜上可知，甲先取乙必輸；操作最佳策略為：甲只需先取集合A中的1個(gè)元素，就能控制局面使乙取得最后一個(gè)元素。

這個(gè)游戲還可以推廣，讀者不妨一試。