一個古老游戲取勝的最佳操作策略

摘 要：這是一個關于“操作”的問題，“操作問題”作為一類智力問題，廣泛存在于民間游戲中，他們普遍難度不大。但也有一些難度大的“操作問題”，經常出現在數學競賽中。一般來說都有取勝的規律，即最佳策略。本題也一樣，只要按照一定的規則去取石子，首先取石子的人總可以贏得比賽。

關鍵詞：數學游戲 游戲規則 中學生 對角線 數理化 老師 題目

中圖分類號：G63文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2013）05（b）-0230-01

有這樣一個古老的二人玩的游戲，桌子上放三排石子，第一排3個石子，第二排4個石子，第三排6個石子。游戲規則為：每人每次可以取走某一排中的若干（大于0）個石子，二人輪流取。規定取最后一個石子的人輸。

下面筆者就探討此游戲取勝的最佳策略。

首先把此問題化為數學問題：設有三個集合A、B、C，集合中分別有3、4、6個元素，即card（A）=3，card（B）=4，card（C）=6，甲乙二人輪流從集合中取元素，規定每人每次可以取走某一個集合中的若干（大于0）個元素，誰取得這13個元素的最后一個元素誰輸。證明：如果甲先取，則乙必輸。

我們先從最簡單處入手，循序漸進的證明。條件由少到多，有：

結論1：當兩個集合M、N中元素相等且不低于2個時，先取者必輸。

證明：不妨設card（M）= card（N）=k，k為大于等于2的整數，乙先取。

1）若乙取集合M中的（k-1）個元素，則甲取集合N中的k個元素，于是集合M中剩最后1個元素歸乙取，乙輸。

2）若乙取集合M中的k個元素，則甲取集合N中的（k-1）個元素，于是集合N中剩最后1個元素歸乙取，乙輸。

3）若乙取集合M中的r（r小于k-1）個元素，則甲取集合N中的r個元素，這樣集合M、N各剩k-r個元素，于是化為上面的情形，乙輸。……