淺議如何培養學生的解題能力

【摘 要】解題不僅對數學研究是必需的，對學習者來說也是至關重要的。如何培養學生的解題能力，成為教師值得深思的課題。筆者認為解題能力主要是在解題過程中獲得的，一個完整的數學解題過程可分為三個階段：第一階段是探索階段，第二階段是實施階段，第三階段是總結階段。

【關鍵詞】數學 學生 能力

數學解題，其實質是根據數學定義、定理、法則并使用適當的數學思想方法從題設推導出結果的過程。

解題不僅對數學研究是必需的，對學習者來說也是至關重要的。學習者可以在解題過程中不斷獲得新的思想方法、新的知識進而提高自己的理論修養。當前，由于片面追求升學率等不良風氣的影響，有相當的中學數學教師不去正面理解解題在教學中的意義，而是大搞“題海戰術”，通過大量的經驗性練習提高教學質量，這對培養人才素質的提高時極其有害的。對學生解a題能力的高低，不能只按考試成績的高低來區分。評價學生的能力應著重從以下幾個方面來考查：①解題的正確程度；②解題的速度；③發現錯誤的多少及改正的速度；④一題多解的能力；⑤解題時所達到的抽象程度。

解題能力主要在解題過程中獲得的，一個完整的數學解題過程可分為三個階段。第一階段是探索階段，第二階段是實施階段，第三階段是總結階段。

一、探索階段

在探索階段主要問題是弄清問題、猜測結論、確定基本解題思路，從而形成初步方法的過程。具體的數學問題往往有很多條件，有很多值得考慮的解題線索，有很多可以利用的數量關系和已知的數學規律。在眾多條件、線索、關系中很快理出一個頭緒，形成一個邏輯上嚴謹的解題思路的過程，學生的思維能力便得了訓練和提高。在教學中，教師應該引導學生理清已學過知識之間的邏輯線索，練習由某種數量關系推演出另一種數量關系，進而把問題的條件、中間環節和答案連接起來，減少探索的盲目性。如：

設數列an=3an-1-2an-2，n≥2.

若，求通項an（n≥2）。在已知條件只給出了連續三項的關系式，我們用特殊化方法觀察數列開頭幾項，有a2=1，a3=2，a3=4，a4=8，……由此，猜測an=2n-2（n≥2），然后利用數學歸納法證明其正確性。

二、實施階段

實施階段是驗證探索階段所確定的方案，最終實現方案，并判定探索階段所形成的猜測的過程。這個過程實際上就是進行推理、運算，并用數學語言進行表述的過程。從一定意義上講，數學可以看成是一門證明的科學，其表現形式主要是嚴格的邏輯推理。因此，推理是實施階段的基本手段，也是學生具備的主要能力。推理、運算過程的表述就是運用數學符號、公式、語言表達推理、運算的過程。表述的基本要求是準確、清晰、簡潔，實現這些基本要求有下列主要手段。

1.恰當選用數學符號。廣泛使用數學符號是數學的一大特點。正是借助于符號，使得數學概念的標記特別簡潔、明了，從而保證了推理運算的有效進行。對符號的使用，要符合統一性、一義性、記憶性的要求，即對那些已公認的符號，如三角函數符號、四則運算符號等不能隨意更改，以保證其統一性；也不容許用同一個符號代表兩種不同對象，保持一義性；使用符號還必須有助于人們的記憶，如平行符號//、垂直符號⊥等，非常形象直觀，易于記憶。

2.準確使用關聯詞語。數學推理表現為命題之間按特定邏輯順序的連接。因此，準確使用關聯詞是表述推理過程的表要步驟。數學推理中使用的主要關聯詞有“如果……那么……”“當且僅當”“……并且……”“……或……”“任意”“存在”，等等。對于這些關聯詞的含義比較準確把握，否則將會造成謬誤。

3.廣泛應用數學語言。數學語言是數學中為了方便和準確描述某個概念或判斷專門使用的一種語言。他們是數學推理中的一個片段。如“直線在平面內”“一一對應”，等等。正確使用數學語言可以消除自然語言表述中可能引起的混亂和歧義，使推理簡潔，表述精確。

三、總計階段

數學對象與數學現象具有客觀存在的成分，它們之間有一事實上的關聯，構成有機整體，數學命題是這些意念的組合。因此，數學證明作為展示前提和結論之間的必然的邏輯聯系的思維過程，不僅僅是證實，在數學學習過程中更重要的是理解。從這一觀點出發，我們推崇解完題后的再探索。正如波利亞強調的，如果認為解完題就完事大吉，那么“他們就錯過了解題的一個重要而有益處的方面”，這個方面成為總結。在這個階段通常必須進一步思考解法是否最簡捷，是否具有普遍意義，問題的結論能否引申發展。進行這種探索的基本手段是抽象、概括和推廣。

【參考文獻】

[1]波利亞，徐泓，馮承天. 設計合理的數學教學[M]. 上海：上海科技教育，2007.

[2]杭順清，何強，沈軍. 解題高手：初中數學[M]. 上海：華東師范大學出版社，2010.

[3]郭奕津. 解題題典：初中數學解題題典[M]. 吉林：東北師范大學出版社，2010.