多元函數(shù)極值理論的應(yīng)用

引言：多元函數(shù)極值是多元函數(shù)微分學(xué)的重要組成部分，它不僅在理論上有重要的應(yīng)用，在其它學(xué)科及實際生活中也有著廣泛的應(yīng)用。本文在多元函數(shù)極值有關(guān)理論的基礎(chǔ)上，討論多元函數(shù)求解極值的理論方法，以拉格朗日乘數(shù)法為主，以柯西、均值不等式法，梯度法，代換法等為補(bǔ)充方法，同時通過典型例題闡明多元函數(shù)極值在實踐中的應(yīng)用，尤其是在數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用，最終找出解決問題的最優(yōu)方法。

多元函數(shù)的極值問題是多元函數(shù)微分學(xué)的重要應(yīng)用，我們可以先以二元函數(shù)為例進(jìn)行討論，逐步推廣到 元函數(shù)的極值理論。從常見的無條件極值問題開始，還會見到許多帶有約束條件的多元函數(shù)極值問題即條件極值問題。

多元函數(shù)極值理論求解的常見計算方法有：最小二乘法，拉格朗日乘數(shù)法，代入法 ，柯西、均值不等式法，梯度法，標(biāo)準(zhǔn)量代換法，矢量法。需要注意的是在求解較簡單的條件極值問題時，既可以用拉格朗日乘數(shù)法，也可用代入法，用代入法求解時要注意代入的條件，否則會導(dǎo)致不完整甚至錯誤的解答。

多元函數(shù)極值理論在實際中的應(yīng)用十分廣泛，幾乎遍及數(shù)學(xué)與科學(xué)的各個領(lǐng)域，在生產(chǎn)和日常生活中我們常常希望減少損耗率、增加利潤率，也希望在金融和工程等方面達(dá)到最優(yōu)，這些實際問題都可歸結(jié)為函數(shù)極值問題。因此研究多元函數(shù)極值理論的應(yīng)用十分必要，下面我們以實際常見的問題為例子展開討論。

例1 分解已知正數(shù) 為 個正的因數(shù)，使得它們的倒數(shù)之和為最小。

在數(shù)學(xué)問題中我們常見的一種題型是用極值理論來證明不等式，拉格朗日乘數(shù)法，柯西、均值不等式法經(jīng)常用到。

多元函數(shù)極值的應(yīng)用非常廣泛，還常涉及到經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，用來解決最大利潤問題、庫存問題、消費者效益最大問題這三類基本的經(jīng)濟(jì)問題時，都要用到多元函數(shù)的極值理論，尤其是拉格朗日乘數(shù)法的應(yīng)用。

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，總收入和總成本都可以表示為常量 的函數(shù)分別為 和 ，其中 表示生產(chǎn)或銷售過程中影響收入和成本的某一因素，則總利潤 可以表示為 。為使總利潤最大，其一階導(dǎo)數(shù)需要等于零，即 ，由此可得 ，其中 表示邊際收益， 表示邊際成本，因此上式表示預(yù)使總利潤最大，必須使邊際收益等于邊際成本，這是經(jīng)濟(jì)學(xué)中關(guān)于廠商行為的一個重要命題。

根據(jù)極值存在的二階充分條件， 為使總利潤最大，還要求二階導(dǎo)數(shù)

由此可得 ，這就是說，在獲得最大利潤的常量處，必須要求邊際收益等于邊際成本。但此時若又有邊際收益對常量的微商小于邊際成本對常量的微商，則該常量一定能使企業(yè)獲得最大利潤。

例2 某公司可通過電臺和報紙兩種方式做銷售某種商品的廣告。根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售收入 （萬元）與電臺廣告費用 （萬元）及報紙廣告費 （萬元）之間的關(guān)系有如下經(jīng)驗公式 ，在廣告費用無限的情況下，求最優(yōu)廣告策略，使所獲利潤最大。

解： 利潤等于收入與費用之差，利潤函數(shù)為

求得駐點 萬元， 萬元，利潤函數(shù)在駐點處的Hesse矩陣 為

由于Hesse矩陣 為負(fù)定矩陣，所以 在駐點 處達(dá)到極大值，也是最大值。即最優(yōu)廣告策略為：電臺廣告費用和報紙廣告費用分別為 萬元和 萬元，此時可獲得最大利潤。

參考文獻(xiàn)

[1]龍莉，黃玉潔.多元函數(shù)的極值及其應(yīng)用[J].鞍山師范學(xué)院報，2003，5（4）：10-12。

[2]王洪濤.函數(shù)極值在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用[J].山東廣播電視大學(xué)學(xué)報，2011，（2）：65-69。

[3]肖翔，許伯生.運用梯度法求條件極值[J].上海工程技術(shù)大學(xué)教育研究，2006，（1）：35-37。

（作者單位：中國礦業(yè)大學(xué)（北京））