應用數學能力是跨學科課程學習、研究的黏合劑

文章編號：1672-5913（2013）01-0018-02

中圖分類號：G642

隨著科技的發展，人類的思維被各種信息、海量數據所淹沒，作為個體的人常常感到力不從心，跟不上科技發展變化的步伐，這已經成為不以人的意志為轉移的客觀事實。地球上的任何一個人，他只能是某個或至多若干個領域、行業的一分子，而社會的方方面面都呈現出各學科交叉、交融和交匯的錯綜復雜的狀態，要真正理解操控它，只有加強對復雜系統的深入研究和探索。

大衛·伊斯利（DAVID EASLIEY）和喬恩·克萊因伯格（JON KLEINBERG）合著的《網絡、群體與市場》（北京大學李曉明等譯）一書，在揭示高度互聯世界的行為原理與效應機制方面是一個典范。筆者暑期有幸參加了由北京大學李曉明教授主持的“跨學科課程教育研討班”，學習后感覺耳目一新，對在大學中推行跨學科教育及其在人才培養方面的作用和意義有了更深的理解。

多學科交叉、跨學科交融是伴隨著信息化潮流的衍生物。在信息高度發達的今天，人們總是試圖通過了解更多的知識來理解這個飛速發展的世界，以更好地理解和掌控這個世界，不至于在自己創造的信息技術面前迷失方向。在跨學科課程“網絡、群體與市場”的研討學習中，筆者對世界萬物千絲萬縷之間的聯系及其相互作用有一種全新的理解。以前對我們對網絡的理解往往局限在計算機互聯網絡這個虛擬的世界之中，很少用網絡的技術原理去看待社會生活中的種種問題。在研討班的學習中，李教授循循善誘地講解網絡基本原理的應用，深度解剖了社會、市場中的很多實例，使本人受益匪淺。

在跨學科的研究中，筆者感到要“揭示高度互聯世界的行為原理和效應機制”，必須在推行跨學科教育的同時，改革大學數學教育，加強對應用數學能力的教育，特別是對數學建模能力的培養。這樣，大學培養出來人才在信息化程度更高的社會中能更好地生存發展。

任何一門科學的真正完善在于數學工具的廣泛應用。科學、學科的發展歷程充分證明了這一點。在跨學科的研究學習中如果離開數學應用，則基本無法理解各個學科間的內涵和應用。也正是由于用數學語言可以方便地表示數學模型，使各學科之間的內涵通過數學模型（或數學語言）向人們展示它們的共同點、聯系點和可以彼此借鑒的原理、思想和方法等，從而拉近各學科之間的距離，使它們共同處在一個公共開放的、人人可以理解的平臺之上。所以，數學與應用數學的能力就成為跨學科交叉融合中的黏合劑。下面筆者通過《網絡、群體和市場》一書中的一些例子來證明這個觀點。

1）離散數學是應用網絡原理理解社會、自然復雜現象的基礎。

我們知道圖論是離散數學的重要內容，在抽象的眼光下，很多的社會、自然現象都可以用圖來表示。任何對象可以看成是圖中的節點，對象之間的聯系可以用邊來描述。這樣一來，復雜的自然界、人類社會中錯綜復雜的各種聯系就成為一幅拓撲圖。應用圖論我們可以發現現實世界中事物的關系與計算機網絡有許多共同之處。如連通性、捷徑問題、6人小世界問題、同質化問題、結構平衡問題、寬度搜索與現代引擎等。

2）博弈論、概率論是深刻理解和解決實際問題的強有力工具。

在社會、自然或技術等復雜系統中除了對象之間的連接關系結構，人們往往要研究具體對象與其他對象之間的相互依存問題，即在復雜系統中任何個體行為的變化可能導致其他個體的行為變化，從而導致復雜系統的激烈變化。這種運動變化往往是我們對復雜系統研究的根本目的，與弄清復雜系統連接背景同等重要。為了了解復雜系統的內部結構變化和運動的規律，我們必須借助博弈論的方法。實際上我們生存的世界就是一個多因素博弈的結果，而且這種博弈是不以人的意志為轉移的，適者生存就是各種生命體之間、生命體與周圍環境之間博弈的結果，加之變異引起的進化，這是生物世界乃至人類社會內部一種新的行為模式的引入，它導致整個復雜系統進一步變化。所以，如何選擇適應性評價函數是引導系統進化的關鍵。我們平時所說的零和博弈，是我們最不愿意看到的，也是最糟糕的博弈結果，如何避免呢？另外，還有如網絡交通流量、市場拍賣策略等都與博弈論密切相關，都可以視為復雜系統中一個要素的變化引起系統變化的行為。

大千世界中有些事件的發生與否帶有一定的不確定性，多學科交叉研究的對象就具有這種或然性，對它的解釋和描述往往要通過概率論。就像《網絡、群體與市場》一書中講的人類社會生活中普遍存在的“隨大流”現象，人為什么會這樣？從概率論的角度可以很好地解釋。“隨大流”現象實際上就是網絡理論中的信息聯級或稱群集效應。簡單地說，人們可以在不同時刻依次作出決定，而后面的人可以觀察到前面人的決策行為，并且通過這些行為推斷出他們所了解的一些信息，從而放棄自己已擁有的信息，轉而以前人的行為為基礎作出推斷。最常見的例子就是，當你到一個完全陌生的城市，選擇吃飯的地方往往是就餐人多的飯館。實際上這種“隨大流”——信息聯級現象可以用概率論中著名的貝葉斯（非確定性決策模型）來說明。

“隨大流”——信息聯級（群集）是可以人為利用的。例如，在某些銷售活動中有人就利用“托”來達到其銷售目的；在會議討論決策過程中，往往先發言的人的意見，更有可能成為主導決策的意見。所以，即便每個人的行為都是合理的，人群也可能出現決策偏差。

3）改革大學數學教育模式、突出應用數學能力的教育是發展跨學科教育、多學科融合的基礎性工程。

實現跨學科教育是當前大學人才培養的熱點，專家們提出了很多建議，如提倡文理滲透、學科交叉、開設公選課等的。這些建議起到了一定的作用，在一定程度上拓展了大學生的素質。但要真正實現現代大學人才培養的質量，應該全面改革我們的大學數學教育，改變學生怕學數學、討厭數學、不會應用數學知識來解決實際問題的現象；改變數學教學與實際問題脫節的教學理念和教學方法；改變幾十年一貫制的大學數學教學內容，適當壓縮以微積分為基礎的高等數學內容，加強與自然界、人類社會緊密相關的離散數學課程的教育，特別是加強圖論、博弈論、概率論和運籌學等應用數學課程的教育，提高學生應用數學的能力。教師在教學中高度重視對學生數學建模能力的培養，將數學模型與專業應用、解決實際問題相結合。當然，這是一個復雜且是挑戰傳統的大課題，需要從國家大學教育的頂層進行設計。以上僅是由于參加了李曉明教授的跨學科課程研討班后的一點感想和認識，不妥之處敬請各位同仁批評指正！

（編輯：彭遠紅）