正指數Sobolev空間中函數的描述

摘 要：本文從研究正指數Sobolev空間中函數的逼近入手，用多分辨率分析構造逼近的性能，恰當的找到了正指數Sobolev空間中函數的等價性的描述和模的等價形式，這一結論成為我們深入刻畫函數空間的又一有效工具。

關鍵詞：多分辨率分析 Sobolev空間 分布 模

中圖分類號：O174.4 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）02（a）-0232-02

1 引言

在我們通常所使用的函數空間中，Sobolev空間是較為經典的一類函數空間，并且由多分辨率分析在這一空間構造所得的相關定理和結論可以推廣到其它一些函數空間中去。鑒于此，本文作者用正交級數的分解來刻畫正指數Sobolev 空間中函數的等價形式，并有效地估計了函數的模，這一分解補充了Berstein不等式，使之更為精確地描述了Sobolev空間中函數的特征。

我們從研究正指數Sobolev空間中函數的逼近開始，先給出這個空間的定義。當時，與重合。如果，，并且它的所有的在分布意義上的導數也屬于，則稱。同樣也可以用<來定義，這是當，且不再是整數時的定義。

在Sobolev空間中，我們可以用多分辨率分析構造函數的逼近的性能。設是的一個正則多分辨率分析，用表示在中的正交補，表示在上的正交投影算子，從而在上的正交投影算子不是別的，就是=-。因此等價于，進而有：

2 基本結論

利用上述分解可以對正指數的Sobolev空間進行刻畫，我們有一重要定理，結論如下：

定理2.1：設，是的一個正則多分辨率分析，0〈〈，則當且僅當，且，其中，而。此外，在中的模等價于的模與級數的模之和。

證明：充分性。若，使得，其中，則。事實上，已知包含在中，因此，只要并且，就有屬于。為討論，用表示足夠小使得成立的數，我們使用的Hilbert結構，有：

必要性。設是一個屬于的分布，而是一個對于足夠大的滿足的試驗函數，顯然有：

設，構造，使得，并且，最后選擇，滿足及，在此條件下有，因此

從上述定理的刻畫中，我們自然的想到，是否可以用多分辨率分析找到正指數的Sobolev空間中函數的等價性描述呢？這是個有意思的問題，答案是肯定的，主要結論如下：

定理2.2：的充分必要條件是其中，且在中的模有等價形式：

上述分解中的，和都是足夠光滑的。

由引理可知并且是次可微的，從而。根據Berstein不等式，我們有：

而由上述引理的結論及<，不難得到

因此，

接下來證明>0時，定理的充分性。由很容易看出。而當時，，從而可以得到。

下面推導模的等價形式。由Bessel位勢的特征及Marcinkiewicz定理易知

綜上，>0時，定理的結論得到了證明。

綜上命題得到了證明，從而找到了正指數的Sobolev空間中函數的等價性描述。這一結論進一步從理論上深化了我們對Sobolev空間的認識，并且這一刻畫方法為我們研究其它函數空間提供了有力的基礎，拓寬了分析空間的思路。定理作為一個新的工具以簡單的方式表達了函數和分布的性質。

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