關于不定方程

摘 要：利用同余法，遞歸數列法，pell方程相關理論解決了特殊不定方程的整數解。

關鍵詞：三次不定方程 整數解 pell方程

中圖分類號：O156.2 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）02（a）-0213-01

關于不定方程（，且不含平方因子）D中不含有型素因子時已有了很多研究成果。當含有型素因子時方程求解困難。1991年曹玉書研究了方程中含有型素因子的情況[1]。羅明1995年解決了方程的整數解的問題[2]。本文證明了下列結論：

定理1 不定方程僅有整數解

定理2 不定方程僅有平凡解

引理1[3] 不定方程僅有整數解，。

引理2[4] 不定方程僅有平凡解。

定理1的證明：當時有，方程兩邊同時除以125得令可得由引理1可知，或者即或者。

因為所以（1）有以下兩種情形：

情形①

情形②

對于情形①中式可得：即通過因式分解可解得經驗證只有當是原方程的解。

對于情形②由后式可得：將前式帶入可得：，借助工具Mathematica及pell方程相關理論，可得方程的全部解又以下兩個類給出：

其中是方程的最小正數解，是pell方程的基本解。由F-L與不定方程的關系易得：

由③可知又所以與⑴矛盾所以無解：同理可得④無解：定理1證畢。

定理2的證明：當時有，得令可得由引理2可知無正整數解。

當5不整除時，原方程化為 （2）

因為所以（2）有以下兩種情形：

情形⑤

情形⑥

對于情形⑤可得可得

由⑨可知又所以與（2）矛盾所以無解：同理可得⑩無解。

情形⑥后式可得即通過分解因式可得經驗證無解。同理可得⑦式無解。定理證畢。

參考文獻

[1]曹玉書.關于丟番圖方程[J].黑龍江大學自然科學學報，1991（1）：18-21.

[2]羅明.關于不定方程[J].重慶師范學院學報.自然科學版），1995（3）：29-31.

[3]倪谷炎.關于不定方程[J][J].哈爾濱師范大學自然科學學報，1999（3）：13-15.

[4]倪谷炎.關于不定方程[J].國防科技大學學報，1999（5）：109-111.

[5]周持中.斐波那契—— 盧卡斯序列及其應用[M].湖南科學技術出版發行社，1993：280-289.

[6]柯召，孫琦.談談不定方程[M].哈爾濱工業大學出版社，2011，20-28.