分類討論思想在高考解題中的應用

摘 要： 分類討論作為一種數學思想，是解決復雜數學問題的有效手段，能體現學生的數學能力.它歷年來都是高考的熱點與重點，也是學生學習的一個難點，學生總是難以把握根據什么分類，怎樣分類.本文結合例題介紹分類討論在高考解題中的應用，通過不同類型的例子讓學生進一步理解分類討論方法及其在高考中的考查形式與特點.

關鍵詞： 分類討論 數學思想 高考解題 應用

分類討論作為一種數學思想，簡單說就是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數學策略，是解決復雜數學問題的有效手段，能體現學生的數學能力.所以它歷年來都是高考的熱點與重點，高考中的壓軸題經常考查分類討論的思想.但對學生來說也是一個難點，因為對根據什么分類，怎樣分類，學生總是難以把握.下面結合例題介紹分類討論思想在高考解題中的應用.

一、求解問題中涉及數學概念是分類定義的

有些數學概念本身就包含了分類，如絕對值的定義，直線的斜率，指數函數、對數函數等，這種分類討論題型可以稱為概念型.

分析：判斷指數函數圖像時，要對底數a分a>1和0

評注：本題結合指數函數圖像變換和函數單調性及特殊點，考查學生分類討論的能力，關鍵是按底數分類討論，并結合圖像與y軸交點位置排除錯誤答案.

二、求解運算過程中引起的分類討論

有些數學問題在運算過程中產生兩種以上情況就需要分類進行討論，如不等式兩邊同乘以一個變量，就需要討論這個變量是正、負還是零；由同一個角的正弦值求余弦值，需要開方，要討論正負；等比數列的前n項和的公式分為q=1和q≠1兩種情況.這種分類討論題型可以稱為性質型.

評注：在等差數列、等比數列的運算求解過程中，經常遇到需要等式兩邊同除以一個字母的情況，一定要注意分類討論，做到不漏解，完整地解答題目.

三、由參數變化引起的分類討論

當數學問題含有變量或參數時，它們取不同的值會對問題產生不同的影響，因此解題時必須根據參數的不同取值范圍進行討論.如解不等式ax>2時，分a>0、a=0和a<0三種情況討論，可以稱為含參型.

（Ⅰ）證明：當0≤x≤1時，

（ⅰ）函數f（x）的最大值為|2a-b|+a；

（ⅱ）f（x）+|2a-b|+a≥0.

（Ⅱ）略.

分析：本題涉及變量較多，要科學合理地分類，注意分類的層次性.

評注：本題第二小題是一個開放性問題，題中變量t<0，但此時直線l并不一定滿足條件，探索發現需分-1

五、解決實際問題中的分類討論

如處理排列、組合概率等應用問題，通常需要根據問題的實際意義，將研究對象先進行適當分類，才有利于解決問題.

例題5：（2012浙江理6）若從1，2，2，…，9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，則不同的取法共有（ ）

A.60種 B.63種 C.65種 D.66種

評注：仔細觀察問題后，發現必須在解決問題前將1至9分成兩類：奇數和偶數，然后才能非常有條理地討論4個數之和為偶數的三種情況，學會分類處理是關鍵.

從以上五個方面的例題可以看出，解答分類討論問題時，基本方法和步驟是：首先，確定討論對象及所討論對象的全體的范圍；其次，確定分類標準，正確合理地進行分類，即標準統一、不漏不重、分類互斥，沒有重復；再次，對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；最后，歸納小結，綜合得出結論.