“運動獨立性原理”在解曲線運動問題中的應用

曲線運動是高中物理運動學的重要組成部分，同時又是高考的考試重點。而在《普通高中課程標準實驗教科書》中，無論是《必修2》中的平拋運動還是《選修3-1》中帶電粒子在勻強電場中的偏轉，都是把運動分解為初速度方向上的勻速直線運動和與初速度方向垂直方向上的靜止開始的勻加速直線運動，因此學生容易形成一種錯誤的認識：曲線運動都是按照上述方法進行分解的。其實解決復雜曲線運動的基本規律是運動的獨立性原理，如何把復雜的曲線運動分解為已知的簡單的運動是解曲線運動的難點和關鍵。本文將這類問題分類歸納如下。

一、可分解為兩個勻變速直線運動

例1：如圖1所示，從傾角為θ的斜坡頂端以初速度水平拋出一個小球，不計空氣阻力，若斜坡足夠長，則小球拋出后離開斜坡的最大距離H是多少？

解析：小球在空中做平拋運動，如果以平拋運動的方法建立坐標軸，數學運算起來復雜且過程繁瑣，筆者在這里不作解答。但以小球的拋出點為原點，建立沿斜坡向下及垂直于斜坡向上的坐標軸，如圖2所示。小球的運動被分解為沿X軸方向和Y軸方向的兩個分運動，其中，小球沿Y軸方向的分運動是初速度的勻變速直線運動，小球勻減速地沿Y軸遠離斜坡，當速度減為零時，與斜坡的距離最大。離開斜坡上升的最大距離為

二、可分解為勻速直線運動和勻變速直線運動

例2：在勻強電場中有一個靜止的放射性原子核，它所放射的粒子與反沖核經過相等的時間所形成的軌跡如圖3所示（a、b均表示長度），那么的衰變方程可能是（ ）

解析：由圖3所示的反沖核與粒子的運動軌跡可知，碳核衰變時釋放的粒子一定帶正電，故選項B、C錯誤。反沖核、粒子（不計重力）在電場中偏轉時做類平拋運動，即在豎直方向上做勻速直線運動，水平方向上做初速度為零的勻加速直線運動，則在相等的時間t內

考慮到碳核在衰變過程中系統的動量守恒，

即解得

故選項A正確，且分別對應衰變時反沖核及粒子的速度。

三、可分解為勻速直線運動和勻速圓周運動

例3：如圖4所示，一個質量為m帶電量為q的帶電粒子，以初速度與勻強磁場的方向夾角為θ斜射入長為L、直徑為D的通電螺線管中，射入點和射出點在同一條直線上，求帶電粒子實際通過的路程？（重力不計）

解析：將帶電粒子的運動分解為平行和垂直于勻強磁場的兩個方向。由運動的獨立性原理可知：平行于勻強磁場方向上由于沒有力的作用，因此做勻速直線運動，而在垂直方向上受到洛侖茲力的作用而做勻速圓周運動。帶電粒子的運動分解如圖4所示，則

兩個方向上運動的時間相等，設為t，由于射出點與射入點恰在同一條直線上，因此粒子做等間距的螺旋運動，設有n個完全相同的圓周，運動周期為T，則

因此粒子實際通過的路程為s=n·2πR=Ltanθ.

四、可分解為勻變速直線運動和勻速圓周運動

例4：如圖5所示，豎直放置的內壁光滑的圓桶內徑為R，在其頂端邊緣處有一個小孔A，孔A處沿切線方向有一個光滑槽。小球以初速度從槽上由孔A進入圓桶沿內壁運動（圓桶足夠高）。現要在入射孔A的正下方挖一個小孔B，使得小球恰能從孔B飛出，問孔B應距孔A多遠？

解析：小球的運動是一個較復雜的螺旋運動，其運動軌跡如圖6所示。由運動的獨立性原理可知：由于小球在水平面內受到圓桶內壁的彈力作用而做速度的勻速圓周運動，在豎直方向上由于受到重力作用而做自由落體運動。又由于孔B處于孔A的正下方，如欲使小球恰從孔B飛出，小球由孔A運動到孔B的路程應等于水平圓周長的整數倍，若小球由孔A運動到孔B所用的時間為t，有

由此可得由自由落體的運動規律可得，孔A、B間的距離應為

即孔B應在孔A正下方五、可分解為勻速直線運動和簡諧運動

例5：如圖7所示，小球m從光滑斜槽的A點以初速度V向AD方向運動逐漸接近固定在D點的小球n，已知AB弧長為L=0.8m，AB圓弧半徑R=10m，AD距離為s=10m，點A、B、C、D在同一水平面內，求速度V為多大時才使小球m恰好碰到小球n？

解析：小球m的運動可分解為沿AD方向的勻速直線運動和沿圓弧方向的簡諧運動（R>>L，可視為單擺模型），假設發生n次全振動，則所用時間

T在AD方向上的位移

s=v·t=v·2nπ

總之，應用“運動獨立性原理”，可以把復雜的曲線運動分解為已知的簡單運動，使我們找到簡捷的解題路徑，從而避免復雜的數學運算。這種簡單的思維方式，不但是物理解題所追求的目標之一，而且是物理學研究的基本方法。同時這種思維方式的培養，對學生思維的發展和探究精神的形成都有較大的促進作用。