微分方程穩(wěn)定性判定方法在教學中的探討

摘要： 在微分方程課程教學中，會發(fā)現(xiàn)求解微分方程會比較困難。我們想把求解的思想轉(zhuǎn)移到相平面上或者利用李雅普若夫第二方法，通過分析方程的結(jié)構(gòu)從而得到微分方程解的穩(wěn)定性和發(fā)展趨勢。本文作者對教學中的教材的合理選擇、方法的改進進行了探討。希望學生通過學習不僅可以學到理論知識，而且可以掌握實際應(yīng)用手段來解決實際問題。

關(guān)鍵詞： 穩(wěn)定性分析法 微分方程的解 V函數(shù)

系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題是微分方程定性理論研究的重要課題之一。穩(wěn)定性這個詞的意義起始于力學，它刻畫了一個剛體運動的平衡狀態(tài)，通常說這個平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，就是說剛體在受到干擾力的作用從原來位置微微移動后，仍回到它原來的位置；反之，它趨于一個新位置，這時，我們說平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。由此可見，研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有重要現(xiàn)實意義。

求解微分方程一直是研究方程穩(wěn)定性的最重要的內(nèi)容之一。隨著研究的擴展和深入，人們遺憾地發(fā)現(xiàn)可以解析求解的常微分方程類型甚少。法國數(shù)學家龐加萊（J.H.Po incar6，1854—1912）順應(yīng)科學發(fā)展趨勢，在微分方程求解過程中引入定性思想，突破了原有的微分方程求解的思維束縛，這是微分方程研究歷史上的一次重大飛躍。在定性理論研究基礎(chǔ)上俄國數(shù)學家李雅普諾（A.M.Liapunov，1857—1918）開創(chuàng)了常微分方程穩(wěn)定性理論——亦稱運動穩(wěn)定性理論，在具體問題的研究中進一步完善和發(fā)展了定性理論。

一、基本思路

在進行該課程的教學研究過程中，我們認識到，要使微分方程穩(wěn)定性內(nèi)容在教學中做到既能讓學生學習到理論知識，又能利用這些理論知識處理實際問題。為了解決這個問題，我們考察研究穩(wěn)定性理論用于解決社會需求的實際問題、高校教學和學科發(fā)展的要求。充分認識到學生通過很好地學習這部分內(nèi)容，并將所學知識應(yīng)用到實際中去，就要做到以下幾點。（1）對判定穩(wěn)定性理論內(nèi)容進行調(diào)整，刪減陳舊冗余的內(nèi)容，增加新穎實用且可以解決實際問題的內(nèi)容。（2）加強相關(guān)多學科知識整合的綜合實驗教學，加強設(shè)計性、研究性教學。（3）教學的方法和體制必須革新，網(wǎng)絡(luò)教學勢在必行。

二、教學內(nèi)容

穩(wěn)定性判定方法的理論依據(jù)就是以下兩種：相平面法是Poincare.H于1885年首先提出來的，它是求解一、二階線性或非線性系統(tǒng)的一種圖解法，可以用來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡位置、時間響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)精度，以及初始條件和參數(shù)對系統(tǒng)運動的影響。李雅普諾夫的穩(wěn)定性理論雖以龐加萊的研究為基礎(chǔ)，但兩者在研究內(nèi)容、研究范圍及研究方法上的不同。對于非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別，李雅普諾夫第二方法是主要的方法。李雅普諾夫方法還被應(yīng)用于研究絕對穩(wěn)定性和有限時間區(qū)間穩(wěn)定性問題。對于大系統(tǒng)和多級復雜系統(tǒng)，通過引入向量李雅普諾夫函數(shù)，可以建立判斷穩(wěn)定性的充分條件。

三、解決實際問題的方法舉例

例1.考慮無阻尼線性振動方程的平衡位置的穩(wěn)定性。

解：把（3.1）化為等價系統(tǒng)

（3.1）的平衡位置即（3.2）的零解。作V函數(shù)

有即于是由李雅普若夫穩(wěn)定性判斷定理知（3.2）的零解是穩(wěn)定的，即（3.1）的平衡位置是穩(wěn)定的。

例2.分析種群的相互競爭模型。

有甲乙兩個種群，它們獨自生存時數(shù)量變化均服從Logistic規(guī)律：

兩種群在一起生存時，乙對甲增長的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比；甲對乙有同樣的作用。

對于消耗甲的資源而言，乙（相對于）是甲（相對于）的倍。

對甲增長的阻滯作用，乙大于甲，乙的競爭力強。

t→∞時的趨向（平衡點及其穩(wěn)定性）。

四、結(jié)語

學生通過對微分方程穩(wěn)定性判斷方法的比較系統(tǒng)、全面的學習，實際接觸到用這些方法可以解決很多的實際問題。這樣不僅培養(yǎng)學生對理論學習思維方式，而且可以從微觀的角度進一步認識、理解和掌握理論的方法和手段，也可以比較全面地鍛煉學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并提出解決方案的能力。當然對于這門課程還在進一步探討過程中。在實際的課程教學中還存在一些問題。比如：學生的水平參差不齊。有少部分同學在做自己應(yīng)該做的那部分時需要同學來幫助，答辯的時候就無法準確地描述清楚相關(guān)內(nèi)容；還有老師本身的知識也需要不斷更新，需要進一步學習新東西、新內(nèi)容。所以我們還需要多方面支持和協(xié)助，這樣才能把這門課程真正地教好，讓學生學好，以便在相應(yīng)的崗位上把所學知識應(yīng)用到實際工作中去。

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