理解數學的本質， 從數學概念入手

摘 要： 數學概念是構建數學理論大廈的基石，是數學學科的靈魂和精髓，也是學生進行數學思維的細胞，在教學中具有舉足輕重的作用。本文在分析數學概念教學局限性的基礎上，對概念的引入、形成、鞏固等方面進行了深入的研究。

關鍵詞： 數學概念 概念教學 本質

《數學課程標準》要求：重要的數學概念與數學思想的呈現應體現螺旋上升的原則，逐步讓學生加深對數學知識、思想和方法的理解。由于數學高度抽象的特點，注重體現重要概念的來龍去脈，因此，在教學中要引導學生經歷從具體實例抽象出數學概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質。

長期以來，由于受應試教育的影響，不少數學教師仍然沒有轉變觀念。課堂上比較重視解題訓練，輕視概念教學，造成解題與概念脫節，使學生對概念理解含混不清，一知半解，從而不能靈活地運用概念解決實際問題。還有些教師僅僅把數學概念看作一個名詞而已，概念教學就是對概念作解釋，要求學生記憶，而沒有看到像函數這樣的概念，本質是一種數學觀念，是一種處理問題的數學方法。事實上，這嚴重影響了學生思維的發展和能力的提高，并且這與新課程大力提倡的培養學生合作探究能力與創新精神嚴重背離。那么在新課標下如何幫助學生更好、更深刻地理解數學概念，如何引導學生靈活地應用數學概念解決實際問題呢？

根據數學概念的形成過程及學生的認知結構，數學概念的教學一般分為三個階段：①引入概念，使學生感知概念，形成表象；②通過分析、抽象和概括，使學生理解和明確概念；③通過例題、習題使學生鞏固和應用概念。

一、優化概念的引入，激發學生的思維

數學概念的引入，是數學概念教學的第一個環節，也是十分重要的環節。概念引入得當，就可以緊緊地圍繞課題，充分地激發起學生的興趣和學習動機，為學生順利地掌握概念起到奠基作用。

引出新概念的過程，實際上是揭示概念的發生和形成過程，而各個數學概念的發生形成過程又不盡相同，有的是現實模型的直接反映；有的是在已有概念的基礎上經過一次或多次抽象后得到的；有的是從數學理論發展的需要中產生的；有的是為解決實際問題的需要而產生的；有的是將思維對象理想化，經過推理而得到的；有的則是從理論上的存在性或從數學對象的結構中構造產生的。因此，教學中必須根據各種概念的產生背景，結合學生的具體情況，適當地選取不同的方式去引入概念。一般來說，概念的引入可以采用如下幾種方式。

1.以現實原型引入。

中學許多數學概念來源于現實世界，對于這一類概念，可引導學生分析日常生活和生產實際中的事例，觀察有關實物、圖式、模型，在具有充分感性認識的基礎上引入概念。如在《圓的認識（1）》的教學中可以這樣引入。

師：我們都看到過車輪，那么車輪都是……

生：（一起回答）圓的。

師：那為什么將它做成圓的？做成方的行嗎？

生1：圓的好滾動呀！如果做成方的，汽車沒辦法行駛。

師：那能做成“扁圓”的嗎？這種形狀也能滾呀？

（大部分學生始料不及，他們感覺有意思，開始思考。一會兒，很多學生舉起了手。）

生2：這樣做的汽車開起來不穩定，否則車上的乘客就會上下顛簸，那這樣的汽車誰敢坐。（該生膽量比較大，還模仿一下，這時滿堂大笑。）

師：那怎樣才能穩定呢？

生：（一起回答）做成半徑相等的。

通過這樣的引入，學生由生活中車輪“能滾動”進入“滾動得平穩”的思考中來。經過這樣恰當地引導，他們就會積極地參與到圓的概念，圓的半徑、直徑、圓心等概念的學習中來。

其實，這樣的例子在我們的教材中比比皆是，需要教師去觀察、提煉生活中的素材。比如，通過說明現實生活中存在大量的具有相反意義的量，引出正、負數的概念。在提供日常生活中各種對應關系的基礎上，引入“函數”的概念。事實上，適當地聯系現實原型，可以豐富學生的感性認識，有助于他們理解數學概念，也有助于他們將客觀現實材料和數學知識融為一體，實現“生活數學化”，培養他們用數學的眼光看待生活問題的能力。

2.以已有概念引入。

從新概念的形成背景看，有的數學概念具有清晰的現實背景或直觀模型，有的則產生于已知的相對初級的概念基礎上。對于后者，常根據新舊概念的聯系，可采用相應的模式引入。

（1）從種概念引入類概念。

在概括程度較高的舊概念基礎上，添加新的屬性，通過邏輯推演，直接引入新概念，平面幾何中的概念多數屬于這種情況。比如，在平行四邊形的基礎上增加“有一個角是直角”的屬性，便得到“矩形”的概念；在三角形的基礎上增加“兩邊相等”引入“等腰三角形”的概念等。

（2）采用對比方法引入。

對比方法是對于兩種不同的對象，按照某些特性，根據它們的相似點或區別之處引入新概念。例如，分式的有關概念通過分數相應概念引入；相似三角形概念可以從全等三角形概念中抽去各邊相等這個屬性來引入。

（3）利用逆反關系引入。

有時也可根據逆反關系引入新概念。逆反關系包括：逆運算、逆反性問題等。逆運算關系如加法與減法、乘法與除法、乘方與開方、指數與對數等。逆反性問題如已知解析式畫圖形，已知圖形求解析式等。

（4）運用概念的推廣引入。

概念的推廣是從特殊到一般的發展過程，它也體現了概念之間的聯系。如，數的認識過程就是逐漸推廣的過程。

3.以數學問題引入。

通過數學問題引入概念，可以充分說明學習新概念的必要性，有助于產生認識需求，明確認識任務。這里的數學問題，一般來自于生活實際，或者是數學本身發展的需要。例如，在學習“乘方”的概念時，可以提出下面的問題引入課題：某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，8個分裂成16個……依次下去1個這樣的細胞分裂n次后，最后有幾個細胞？又如，學習“正數、負數”時，生活中有些量不夠減，引入負數概念。

4.以數學故事引入。

學生往往對歷史故事和歷史人物感興趣，教學中，教師可以結合概念適當引入一些數學史、數學家的故事，激發學生的學習興趣。如講實數的概念時，教師可以介紹古希臘畢式學派的故事，使學生在輕松的氣氛中接受無理數的概念。

5.動手操作引入。

新課程理念要求學生自主合作探究的學習方式。因此在概念學習時，可多讓學生親自動手試一試，在實驗中得出結論。如在“直棱柱的表面展開圖”、“三視圖”學習時，讓學生用紙自做模型，然后用剪刀剪一剪，做一做，或從家里帶肥皂塊、土豆塊等易切割的東西，進行現場操作，學生通過動手、動腦經歷了發現數學概念的“演習”。實踐過程中發現課堂的氣氛非常活躍，就算是平時對數學學習比較冷漠的學生也積極地參與到活動中來，他們非常容易地跨越了空間想象的難關。

6.以多媒體教學手段引入。

對于抽象的概念教學，教師可以充分利用多媒體的優勢，這樣不僅可以激發學生的學習興趣，還可以刺激學生的多種感官，由形象直觀的認識提高為抽象的概括，使抽象的數學知識以直觀的形式出現，從而突破學習的難點。如在學習“直線、射線、線段”概念時，先用課件播放一些圖片（運動會的比賽場景、天空中的流星、激光、筆直的鐵軌、輸電線、探照燈的燈光等），再用動畫演示，展示直線、射線、線段的形成過程，然后師生互動，在討論交流中詳細地比較線段、射線、直線的概念。

7.直接引入。

有些概念，是用揭示概念外延的方法給出的定義，這樣的概念比較具體，學生易于接受，容易理解，在教學中就不必轉彎抹角，開門見山引入效果可能更好。例如，“兩邊相等的三角形是等腰三角形”等概念就可以直接提出。還有些基本概念，如點、直線、平面等可用公理化方法定義的概念，我們都可以直接提出。

概念的引入方式很多，這些方式要靈活選取，有時還可以交叉使用。但不管采用什么方式，必須注意以下幾個原則：一是材料的選取要確切，要突出概念的本質特征；二是緊扣學生已有的認知結構；三是盡可能聯系學生熟悉的生活實際；四是能夠引起學生思考、探索的興趣；五是不要故意繞圈子。

二、透析概念的形成，發展學生的思維

引入階段提供的生活實例或觀察材料是形成概念的毛坯，接下來便是去粗存精、由表及里的思維加工階段，其主要任務是通過抽象化、形式化來掌握概念的內涵，廓清概念的外延。這一步是形成概念思維活動過程中關鍵的一步。數學教學通常經過下列環節達到對概念本質屬性的理解。

1.加強概念的理解，明確概念的內涵。

引入概念僅是概念教學的第一步，概念的理解才是概念教學的中心環節。因此，為了讓學生準確地理解概念，明確概念的內涵與外延，正確表述概念的本質屬性，教學中可采用以下具有針對性的方法。

（1）抓要點，明本質。

挖掘概念的內涵與外延，抓住其本質，使學生不僅知其然，更知其所以然。以直角三角形中正弦函數為例進行剖析，正弦函數涉及比的定義、角的大小、點的坐標、距離公式、相似三角形、函數概念等知識，其中“比”是這一概念的本質特征。為了突出這個比值，引導學生思考：①正弦函數實質上就是一個“比”，這個比是∠α的對邊與斜邊的比值；②在角α的終邊上任取一點P（x，y），那么這個比就是

③這個比值隨的∠α大小確定而確定，與∠α的對邊與斜邊的長度無關；④由于對邊小于斜邊，因此這個比值不超過1。經過對正弦概念的本質屬性分析后應指出：直角三角函數有六個，這便是三角函數的外延，而在初中我們僅學習其中的三個（正弦、余弦、正切）。

在幾何中，很多概念的詞語表述比較長，這時可以對其加工分解，明確要點；還有些概念只需望“名”就能生“義”，就能明確要點，這樣操作也便于記憶。例如，學習“線段的垂直平分線”概念時，在原來知識的基礎上讓學生分開理解“垂直”、“平分”的含義，就能抓住它的三個要點：（1）它是一條直線；（2）這條直線過線段的中點；（3）這條直線垂直于這條線段。

（2）恰當運用反例。

概念教學中，除了從正面去揭示概念的內涵外，還應考慮運用適當的反例去突出概念的本質屬性，尤其是讓學生通過比較正例與反例的差異，對自己出現的錯誤進行反思，更利于強化學生對概念本質屬性的理解。

用反例去突出概念的本質屬性，實質是使學生明確概念的外延，從而加深對概念內涵的理解。凡具有概念所反映的本質屬性的對象必屬于該概念的外延集，而反例的構造，就是讓學生找出不屬于概念外延集的對象，顯然，這是概念教學中的一種重要手段。但必須注意，所選的反例應當恰當，防止過難、過偏，造成學生注意力分散，而達不到突出概念本質屬性的目的。

（3）合理運用變式。

依靠感性材料理解概念，往往由于提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非本質屬性具有較明顯的突出特征，容易形成干擾的信息，而削弱學生對概念本質屬性的正確理解。因此，在教學中應注意運用變式，從不同角度、不同方面去反映和刻畫概念的本質屬性。一般來說，變式包括圖形變式、式子變式和字母變式等。

如，學習了“對頂角”概念后，為了幫助學生認識“對頂角”的本質特征，教師可以出示一些圖形，讓學生判斷一下它們是否是對頂角。

又如，在學三角形的高這一概念時，可以向學生呈現一些在形狀、位置等方面有差異的不同三角形（銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形）的例子，讓他們通過對這幾種典型變式的思維加工、抽象概括出“三角形的高”的定義。

（4）抓對比，促鑒別。

“有比較才有鑒別”，數學的各種知識要讓學生在比較中去思考、去認識。數學的一些概念和規律，理論性較強而且比較抽象，如果把它與學生熟悉的（已知的）相關實體（事物）進行比較，從中理解概念、掌握規律，學生就會對它產生極大興趣，就會主動思考。如關于“軸對稱圖形”和“軸對稱”這兩個概念學生較難理解，但通過讓學生觀察常見的汽車標志，如奔馳、大眾、桑塔納，商標如工行、農行等，看到它們共同的性質：沿某條直線翻折，左右兩邊能夠完全重合，這樣就容易理解軸對稱概念。同樣讓學生們觀察天上的月亮和水中的月亮，每人的兩只手，中國民間的窗紙、剪紙，發現：一個圖形沿某條直線翻折，與另一個圖形完全重合，得到“兩個圖形成軸對稱”。于是有：

反過來如果把一個圖形直線兩旁部分看成兩個圖形，那么它們成軸對稱，把兩個成軸對稱的圖形看成一個整體，那么它就成了軸對稱圖形，這樣就使學生對這兩個難懂的概念有了透徹的理解。

用對比或類比理解新概念，一定要突出新、舊概念的差異，明確新概念的內涵，防止舊概念對學習新概念產生的負遷移的影響。

（5）究錯因，促理解。

嘗試錯誤即學生從正面接觸概念后，教師從概念的反面有針對性地創設一種錯誤的情境，引導學生深入到這種特定的情景中，運用已有的知識和經驗去分析錯因，去嘗試矯正。如，學習實數的概念后學生經常把，0.1010010001，0.1010101010，……當作無理數。究其錯誤原因，主要是由于學生沒有弄清楚無理數的“無限不循環”的本質屬性，要求教師引導學生走進所設計的圈套，然后引導學生去找錯、糾錯，這樣更有利于學生對概念的理解，讓學生在反思提高對數學概念的理解能力。

2.正確使用符號，減少概念的謬誤。

用數學符號來表示數學概念，既是數學的特點，又是數學的優點。由于數學概念本身就十分抽象，加上用符號表示，從而使概念更抽象化，因而在概念教學中真正使學生掌握概念符號的意義，顯得尤為重要。在實際教學中要防止兩種脫節：一是概念與實際對象脫節；二是概念與符號脫節。后一種脫節很容易使概念與所反映的對象的內容脫節而產生錯誤。例如，學生不理解根號及運算次序，從而得出如下的錯誤等式：=5+12=17。

因此，為了避免概念和符號脫節，在教學中必須解決好“語言文字”與“數學符號、式子”之間的互譯問題，讓學生把代表某一概念的數學符號與概念內涵直接掛鉤。

3.明確概念間的聯系，深化概念的理解。

數學概念是數學教學內容的知識單元，概念之間的聯系則形成了教學內容體系的框架結構。它們之間有著密切的內部聯系，把個別概念放在概念的相互聯系中來教學，有助于揭示概念的本質。

在既定的課程中，概念之間的各種關系是課程設計者計劃安排好的，而對教材的分析者（教師和學生）來說，概念體系隱沒在知識內容之中，分析者要通過自己的整理使之明朗化。

概括起來，中學數學教材中概念間的聯系有以下幾種：

（1）具有屬種關系的概念群。

具有屬種關系的概念，可用一種邏輯鏈將它們連接起來，這樣便于學生理解和記憶。比如，四邊形→平行四邊形→矩形→正方形；算術數→有理數→實數……

（2）具有并列關系的概念群。

有些概念之間存在某種潛在的聯系，并從屬于某個概念程度更高的概念，我們稱這類概念具有并列關系。比如，正整數指數冪、零指數冪、負整數指數冪；二次函數、一元二次方程、一元二次不等式；直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形……這些概念學習可以相互類比，應用時有時還可相互轉換。

（3）成群組關系的概念群。

成群組關系的概念群，其中有一個是核心概念，其他是從不同角度解釋和烘托這個核心概念的附屬概念。如，圍繞“圓”的附屬概念有“圓心”、“半徑”、“直徑”、“弧”、“弦”；與“乘方”有關的概念有“冪”、“底數”、“指數”等。

明確概念間的各種聯系，我們就可以用“網絡圖”將教材中隱性概念體系結構顯性化，這樣直觀地展示概念間的相互聯系，優化學生的認知結構。

三、重視概念的鞏固，拓展學生的思維

數學概念多而抽象，容易混淆或遺忘。學生對概念的掌握也不是一次就能完成的，需要由具體到抽象，再由抽象到具體的多次反復。所以理解概念后還要幫助學生及時地鞏固概念，熟記概念，需要教給他們一些鞏固的方法。

1.學習記憶的方法，提高記憶的效率。

（1）理解記憶法。“若要記住，必先理解”，也被教學實踐所證明了的。凡是學生囫圇吞棗地記住的概念，不久就會忘記；而凡是理解的概念，則往往記得比較牢固。在概念學習中，學生一定要理解所學概念的內涵，使所學的概念與自己頭腦的原有概念體系建立多方面的聯系，使其達到理解記憶的水平。在概念學習時，不僅要使概念成為學習活動的直接對象，而且要使形成這些概念的思想和方法也成為學習活動的對象。

（2）系統記憶法。數學概念間有一定的系統性，內在聯系非常緊密。如果學生在學習中能有計劃地將這些概念進行及時整理，使其組織化、結構化、邏輯化，形成一個系統，就便于記憶。上面已經談到了概念間的聯系，讓學生明確它們之間的聯系，并通過分析后納入自己概念體系中，可以大大減少記憶量，也容易長久記憶。

（3）形象記憶法。在概念學習中，有些抽象的概念和圖形能夠直接聯系。由于圖形直觀形象在記憶中一般比較清晰穩定，便于記憶。如數學中的幾何概念基本上都可以畫出圖形，用圖形進行記憶效果非常好，這已為實踐所證實。

2.靈活地運用概念，發揮概念的作用。

學習的目的在于應用。教學中主要是通過練習達到運用概念的目的，在練習中可以加深理解和鞏固概念，并利于啟發學生的思維，培養數學能力。練習要注意以下幾點：

（1）練習的目的要明確。在練習時必須明確每項練習的目的，使每項練習都突出重點，充分體現練習的意圖，做到有的放矢，使練習真正有助于學生理解新學概念，有利于發展學生的思維。根據練習目的不同有如下幾種類型：

①對比練習。對于一些容易混淆的概念等，可以用對比的方法進行辨析，幫助學生弄清它們之間的區別和聯系。如，學好“軸對稱”概念后，可以讓學生比較一下軸對稱和軸對稱圖形的區別和聯系。

②判別性練習。學生學了某些概念后，可出一些題讓學生判斷正誤，既有助于概念的鞏固，同時又能發展學生的鑒別能力。如學了“圓周角”的概念后，讓學生判斷下圖中的哪些角是圓周角。

③改錯練習。選擇學生容易出錯的實例，讓學生改正，可使學生更準確地掌握概念，提高學生的鑒別能力。如學習“平方根”概念后，讓學生判斷正誤，④實際應用的練習。如學習了“線段”概念后，同學們已掌握了數線段的規律，并明白在直線上有n個點，可得到條線段。然后提出：若我們每組4名同學，每兩人都握一次手，共握幾次手？若5名同學呢？n名呢？在此基礎上，你還能聯想到什么？大家通過討論交流，聯想到了實際生活中的循環比賽，平面上n個點可確定線段、射線的條數，平面上n條直線兩兩相交的交點個數，還聯想到角的數法。

（2）練習的層次要清楚。鑒于初中生的年齡特點，認識事物往往不能一次完成，需要一個逐步深化和提高的過程。因此練習時要按照由簡到繁、由易到難、由淺入深的原則，逐步增加練習的難度。

①基本練習，在剛學完新課之后的單項的、帶有模仿性的練習，它可以幫助學生鞏固知識，形成正確的認知結構。

②發展練習，在學生已基本掌握了概念和初步形成一定的技能之后的練習，它可以幫助學生形成熟練的技能技巧。

③綜合練習，可以使學生進一步深化概念，提高解題的靈活性，培養學生的數學思維能力，實現由技能到能力的轉化。

3.注重概念的分類，體現概念的價值。

人類的思維反映和把握客觀世界是通過概念體系來進行的。概念體系是人類的思維之網，各個概念是這張思維之網的各個“紐結”。教學時，應闡明概念之間的內在聯系，明確概念的從屬關系，科學地、系統地分析概念的相互關系，有助于提高學生的思維能力。如四邊形認知圖式的構建，把四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等）的知識有機地融合在一起。因為孤立地教學概念，將限制概念學習的價值。

通過以上的研究，我們認識到數學概念是學生形成良好認知結構的紐帶，是智能發展的重要因素。加強數學概念教學，既是深化教學改革的需要，更是培養“智能型”人才和提高全民族數學素質的需要。

參考文獻：

[1]夏國良.數學概念教學的策略.

[2]張奠宙.數學教育學.江西教育出版社.

[3]數學課程標準解讀.北京師范大學出版社.

[4]沃蘇青，張金飛.新課程初中數學評課稿精選.寧波出版社.

[5]胡炯濤.數學教學論.廣西教育出版社.

[6]任樟輝.數學思維論.廣西教育出版社.

[7]田萬里.數學教育學.浙江教育出版社.

[8]季素月.給數學教師的101條建議.南京師范大學出版社.

[9]李祖選.初中數學概念教學探微.

[10]葉瀾.讓課堂煥發出生命的活力.教育研究.