線性代數課程教學探討

摘 要： 本文主要研究了線性代數中的幾個口訣，引入了數學教學中的實例，強調了充分發揮學生自主性的重要性。

關鍵詞： 線性代數 口訣 實例引入 學生自主性

線性代數是工、管、理、經等各個專業的重要公共基礎課程。通過線性代數的教學可以使學生在數學的抽象性、邏輯性與嚴密性方面受到較為嚴格的訓練和熏陶。因此對于線性代數的教學顯得格外重要。筆者結合線性代數課程教學的實踐，就課堂教學中口訣，實例引入，認及充分發揮學生的自主性幾個方面的重要性進行探討。

一、線性代數中的幾個口訣

一般的教材中在引入n階行列式的定義時，從具體的二階，三階行列式出發，得出用和式表達二階，三階行列式的規律：

（1）二（三）階行列式共有2！（3！）項；

（2）每一項都位于不同行不同列；

（3）每一項都可以寫成

（4）當是偶排列時，對應的項取正號；當是奇排列時，對應的項取負號。由此給出一般的n階行列式的定義。

在以上的規律中，第四條的本質就是判斷排列的奇偶性，即計算排列的逆序數。如何計算排列的逆序數，可能學生會按照概念去數該排列的逆序的個數，但是如果沒有什么規律而雜亂無章地去數，難免會出現漏數的情況。如果我們給學生總結一些口訣，則不但會讓他們知道如何去求排列的逆序數，也會激發他們學習線性代數的興趣。我們可以把求解的法則總結成一個簡單的口訣就是向右看齊。記住口訣后，再給他們講解一些具體的做法。對于給定的一個排列另外一個口訣是左行右列。在同濟大學數學系編的線性代數教材的[1]第三章：矩陣的初等變換與線性方程組。介紹矩陣的如下基本性質：對兩個m×n矩陣A與B，（1）A與B行等價的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P使得PA=B；（2）A與B列等價的充分必要條件是存在n階可逆矩陣Q，使得AQ=B。關于這個基本性質，可以給學生總結左行右列的口訣，也就是在以上性質中關于矩陣的乘法（1）中P是放在B的左邊9I/mcilSoAobYA61AKlbM0GH7WhEZL2ObsOv2iEX53c=的，而在（2）中Q是放在B的右邊的。如果教學的時間充足，我們可詳細地講解通過引入初等矩陣的知識來證明以上的性質，在證明過程中加深左行右列的口訣的應用。在這同一本教材中的第四章列出：向量組的線性相關性，如果三個矩陣A，B，C滿足C=AB，則C的列向量組能由A的列向量組線性表示，相應的B是其線性表示的系數矩陣，它被乘在A的右邊；C的行向量組能由B的行向量組線性表示，相應的A是其線性表示的系數矩陣。因此我們也可以總結出左行右列的口訣。在教學的時候利用這個口訣還可以溫習第三章的內容。

二、實例引入

線性代數是處理矩陣和向量空間的數學分支，在現代科學的各個領域都有廣泛的應用。而對于矩陣概念的引入，如果我們直接給出矩陣的概念，學生就會覺得很抽象，如果給出一個實例來引入，效果則會截然不同。比如中學時，班主任統計班上學生成績的時候，可以用表格來表示：左列為每一位學生的姓名，右側分別為每科的成績。如果把表格里面學生姓名，科目及表格去掉，再把剩下的成績作為一個整體用括號括起來，就得到了一個矩陣。然后我們再介紹矩陣的概念，相信比直接介紹矩陣的概念效果會好得多。同樣的道理對于其他的地方，如果我們能找到生活中的實例來講解，就會讓學生更能加深理解，也更能激起他們的興趣。

三、充分發揮學生的自主性

在教學中，我鼓勵學生在課堂上說出自己的看法。有的時候雖然他們的想法不一定完美，或者根本是行不通的，我也不會批評他們，反而會表揚他們，因為他們是在開動自己的腦筋。他們會想如果自己的方法不怎么好，那不好在哪，我們可能會用書上所講的，求使得線性方程組的系數矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等的條件。但是當我問學生怎樣求解的時候，說明一下這種方法。需要強調的是充分必要條件應該是從兩個方向出發。然后我們再講解使得線性方程的系數矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等的方法，讓學生比較一下各種方法的優缺點。這樣可以加深學生的理解，激發他們的學習興趣。

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系.線性代數[M].北京：高等教育出版社，2007，（5）.