高中數學新舊教材中余弦定理的對比分析與教學建議

摘 要： 余弦定理是高中數學學習的重點之一，對于培養學生公理化思想，歸納，從特殊到一般的思想方法發揮著獨特的功能。因此，余弦定理教材的編寫應符合學生的認知特點。本文通過對新舊教材的編排比較和研究，發現不足，幫助教師形成合理的教學設計。

關鍵詞： 高中數學教學 新舊教材 余弦定理

在課堂教學中，教材是重要的課程資源之一，是體現課程理念的重要媒介。不同的教材體現了不同的知識傳授理念，也體現了不同的教學成效。新舊教材之間存在著些許差異，為了能夠更好地實施課堂教學，全面細致地比較和研究新舊教材的差異對實際教學工作是有必要的。

本文通過以余弦定理為例，對新教材與舊教材關于余弦定理章節的內容編排特色做了一個比較，主要對余弦定理的提出、余弦定理發現的證明過程等環節做了細致的比較，并在此基礎上，提出合理科學的教學建議，幫助教師形成合理的教學設計，提高課堂教學效率。

一、新舊教材的內容設計比較

在人教版數學第二冊（下）中，余弦定理被設計在第五章——平面向量的第二節解斜三角形中。新教材人教版數學必修5，余弦定理被設計在單獨章節解直角三角形中。

1.關于余弦定理的提出

舊教材直接提出問題，基于特殊到一般的數學思想，從解直角三角形入手，切入余弦定理：新教材給出探究，而新教材結合初中全等三角形的知識，從量化的角度提出問題，體現初中和高中的知識銜接，也為余弦定理解三角形的類型做了鋪墊。全等三角形的判定學生在初中時就已學過，這樣便于學生建構和聯系余弦定理，即三角形的邊角關系。

2.余弦定理的發現和證明過程

舊教材因為余弦定理編排在平面向量的章節中，所以，余弦定理的引入也毫無疑問地運用了向量的方法推導出。提出問題后，直接用向量的方法研究問題。

例如，在△ABC中，AB、BC、CA的長分別為c、a、b。

由此推出余弦定理。

新教材在推導余弦定理的設計上同樣也用了向量數量積的方法進行證明，但是提出了思考。引導學生用已學過的知識和方法來解決這個問題。

由于涉及了邊長問題，我們可以考慮用向量的數量積，或者用解析幾何中的兩點間距離公式來研究這個問題。

新舊教材都用了向量數量積的途徑來展現余弦定理的證明這一問題。這樣的設計合理、簡捷，但是對于學生來說，這樣的證明方法來得突然、不自然，不利于發揮學生的主動性，無法讓學生的學習過程成為在教師引導下的再創造過程，缺少新舊知識的搭建和連接。

3.余弦定理在三角形形狀判斷的應用

舊教材并未涉及此內容。

新教材從余弦定理和余弦函數的性質兩方面相結合，分別對三種形狀的三角形進行了量化講解。

二、基于教材編寫對比分析的教學建議

1.對余弦定理提出的教學建議

在教學中，提出問題、創設情境這一環節可直接用新教材的探究，不僅體現了初中高中知識的銜接，還為之后要說明滿足已知邊角邊的三角形的解是唯一的，不會出現正弦定理兩解的情況留下了懸念。

2.對余弦定理的發現和證明過程的教學建議

余弦定理的引入及其證明過程，新舊教材中的向量方法雖然簡捷，但是這樣的證明過程來得太突然，我們可以設計得更自然一些，既讓學生聯系已學過的知識，又讓學生體會到從特殊到一般的探究方法。可作如下設計：

已知直角△ABC，AB、BC、CA的長分別為c、a、b，問如何去求出直角所對的邊c邊？

同學們很自然地會利用勾股定理解出c邊。

其次，若我們將點C沿邊BC向左移動，這時原來的直角△ABC變成了銳角△ABC，這時如何去求c邊？

若我們將點C沿邊BC向右移動呢？這時又會形成鈍角△ABC，如何去求c邊？

這就將特殊的問題延伸到了一般的問題，形成對任意的三角形如何去求第三邊的問題。這樣既結合了舊教材的提出問題部分，又是一種學生易接受的探究方法。

參考文獻：

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