淺析高中數(shù)學(xué)中的恒成立問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中我們經(jīng)常會(huì)遇到一類題型——恒成立問(wèn)題. 它們以函數(shù)知識(shí)為載體，涉及一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖像，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法.恒成立問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的熱點(diǎn)問(wèn)題.下面筆者以這類問(wèn)題為藍(lán)本，對(duì)它進(jìn)行解析，供同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中參考.

一、恒成立問(wèn)題的基本類型

類型1：設(shè)f（x）=ax+bx+c（a≠0），

（1）f（x）>0在x∈R上恒成立？圳a>0且Δ<0；

（2）f（x）<0在x∈R上恒成立？圳a<0且Δ<0.

類型2：設(shè)f（x）=ax+bx+c（a≠0），

（1）當(dāng)a>0時(shí)，f（x）>0在x∈[α，β]上恒成立？圳-<αf（α）>0或a≤-≤βΔ>0或->βf（β）>0，f（x）<0在x∈[α，β]上恒成立？圳f（α）<0f（β）<0；

（2）當(dāng)a<0時(shí)，f（x）>0在x∈[α，β]上恒成立f（α）>0f（β）>0，

f（x）<0在x∈[α，β]上恒成立-<αf（α）>0或a≤-≤βΔ<0或->βf（β）<0.

類型3：f（x）>α對(duì)一切x∈I恒成立？圳f（x）>αf（x）<α對(duì)一切x∈I恒成立？圳f（x）>α.

類型4：f（x）>g（x）對(duì)一切x∈I恒成立？圳f（x）的圖像在g（x）的圖像的上方或f（x）>g（x），x∈I.

對(duì)于在區(qū)間D上求函數(shù)f（x）的最大值或者最小值問(wèn)題，我們可以采取合理有效的方法進(jìn)行求解，通常可以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的配方法、三角函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導(dǎo)等方法求函數(shù)f（x）的最值.

二、恒成立問(wèn)題在解題過(guò)程中常見以下題型

（一）構(gòu)造一次函數(shù)法.若原題可化為一次函數(shù)型，則由數(shù)形結(jié)合思想利用一次函數(shù)知識(shí)求解，十分簡(jiǎn)捷.

給定一次函數(shù)y=f（x）=ax+b（a≠0），若y=f（x）在[m，n]內(nèi)恒有f（x）>0，則根據(jù)函數(shù)的圖像（直線）可得上述結(jié)論等價(jià)于f（m）>0f（n）>0同理，若在[m，n]內(nèi)恒有f（x）<0，則有f（m）<0f（n）<0.

例1：對(duì)于滿足|a|≤2的所有實(shí)數(shù)a，求使不等式x+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范圍.

分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及a，關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù).顯然可將a視作自變量，則上述問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為在[-2，2]內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)大于0恒成立的問(wèn)題.

解：原不等式轉(zhuǎn)化為（x-1）a+x-2x+1>0在|a|≤2時(shí)恒成立.

設(shè)f（a）= （x-1）a+x-2x+1，則f（a）在[-2，2]上恒大于0，故有：f（-2）>0f（2）>0即x-4x+3>0x-1>0，解得：x>3或x<1x>1或x<-1.

∴x<-1或x>3，即x∈（-∞，-1）∪（3，+∞）.

此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間[m，n]上的圖像是一線段，故只需保證該線段兩端點(diǎn)均在x軸上方（或下方）即可.

（二）構(gòu)造二次函數(shù)法.涉及二次函數(shù)的問(wèn)題是復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，同學(xué)們要加強(qiáng)學(xué)習(xí)、歸納、總結(jié)，提煉出一些具體的方法，在今后的解題中自覺運(yùn)用.

（1）若二次函數(shù)y=ax+bx+c（a≠0）大于0恒成立，則有a>0且Δ<0；

（2）若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，則可以利用韋達(dá)定理及根的分布知識(shí)求解.

例2：若函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：該題就轉(zhuǎn)化為被開方數(shù)（a-1）x+（a-1）x+≥0在R上恒成立問(wèn)題，并且注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論.

解：依題意，當(dāng)x∈R時(shí)（a-1）x+（a-1）x+≥0恒成立，所以，①當(dāng)a-1=0，即當(dāng)a-1a+1≠0時(shí)，a=1，此時(shí)（a-1）x+（a-1）x+=1≥0，∴a=1.②a-1≠0時(shí)，即當(dāng)a-1>0，Δ=（a-1）2-4（a-1）≤0時(shí)，有a>1a-10a+9≤0？圯1

綜上所述，f（x）的定義域?yàn)镽時(shí)，a∈[1，9].

在解決函數(shù)在給定區(qū)間上求參數(shù)取值范圍問(wèn)題時(shí)利用二次函數(shù)型判別式法解決有時(shí)并不是最好的方法，我們還可以選擇更為簡(jiǎn)潔方便的方法——分離參數(shù)法.

（三）分離參數(shù)法.若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過(guò)恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問(wèn)題求解.

例3：已知當(dāng)x∈R時(shí)，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：在不等式中含有兩個(gè)變量a及x，其中x的范圍已知（x∈R），另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離.

解：原不等式即：4sinx+cos2x<-a+5

要使上式恒成立，只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求f（x）=4sinx+cos2x的最值問(wèn)題.

f（x）= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2（sinx-1）2+3≤3，

∴-a+5>3即>a-2；上式等價(jià)于a-2≥05a-4≥05a-4>（a-2）或a-2<05a-4≥0，解得≤a<8.

恒成立問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)中還有其他一些形式，限于篇幅原因，這里不一一列舉.我們?cè)趯W(xué)習(xí)的時(shí)候必須重點(diǎn)把握和歸納總結(jié)，在平時(shí)的訓(xùn)練中不斷領(lǐng)悟和總結(jié)，看清它的實(shí)質(zhì)，做題時(shí)才會(huì)更加順利.