基于認知負荷理論，優化學生數學學習

一、兩次設計教學片段

1.第一次設計教學片段。

（帶領學生閱讀勾股定理史，進一步了解我國古代對勾股定理的研究情況。）

【活動1】

問題1：你能寫出多少組勾股數？請盡可能多地寫出來。

（3分鐘后，學生基本能寫出5組左右，請2名學生上黑板書寫找到的勾股數。）

生1：（3，4，5），（6，8，10），（5，12，13），（7，24，25），（8，15，17）。

生2：（4，6，7），（9，12，15），（10，24，26），（11，60，61），（12，16，20），（15，36，39）……

（生2在書寫的過程中，我發現（4，6，7）不是一組勾股數，于是提問：生2的書寫是否一定是勾股數？）

生3：（4，6，7）不是勾股數。

師：為什么？

生3：因為42+62≠72。

師：生3說得很好。生1寫的5組都是勾股數嗎？怎么判斷？

生4：只要判斷2個數的平方和是否等于第3個數的平方就可以了。如：82+152=172。

師：這種說法對嗎？

生5：應該計算較小的兩個數的平方和，看是否等于最大的數的平方，如果相等就是勾股數，否則就不是。

師：有沒有簡便的方法呢？比如，我們要判斷（20，99，101）是否是勾股數，用生5的方法就顯得麻煩了。

（學生沉思，沒反應。）

生6：可以用平方差公式，比如：1012-992=（101+99）×（101-99）=400=202，所以（20，99，101）是一組勾股數。

師：很好。顯然生6的方法更簡便，尤其是遇到數據很大的時候。

（師生合作把生2寫的所有數組進行檢驗。）

問題2：探索問題1中勾股數的規律。

（安排學生獨立思考3分鐘，然后4人小組進行交流。）

生7：設勾股數中的最小數a為奇數時，最大的數就比較大的數大1，即c=b+1，并且這3個數沒有公約數。比如，（15，36，39）是不符合這個規律的。

生8：設勾股數中的最小數a為奇數時，則a2=b+c。也發現（15，36，39）是不符合這個規律的。

師：那么這些公約數不為1的勾股數組有什么規律呢？

生9：可以將它們都約去這個公約數，然后就和公約數為1的那些勾股數一樣了。如（15，36，39）可以看成將（5，12，13）的每個數乘以3得到的。

師：那我們就可以把這些數去掉不予研究了。接下來繼續分小組研究這些勾股數的規律。

（3分鐘后，學生又有新的想法了。）

生10：當a為奇數時，則c=b+1，a2=b+c；當a為偶數時，則c=b+2，a2=2（b+c）。

（活動1的探究使用了33分鐘，然后出示活動2。）

【活動2】

師：大家探究得不錯，請再來思考另一個問題。設（a，b，c）為一組勾股數（a

（1）當a=2n+1（n為正整數）時，請給出計算勾股數的一組公式。

（2）當a=2n（n為正整數且n>1）時，請給出計算勾股數的一組公式。

（學生獨立思考4分鐘后，沒有什么學生舉手。）

（教師安排3名學生回答，都表示不會，又過了3分鐘，通過師生共同探究后有學生舉手發言。）

生11：（1）（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）；（2）（2n，n2-1，n2+1）。

（至此，一節課的時間已經結束了，但本節課設計的教學內容才完成了一半。）

2.第二次設計教學片段。

介紹勾股定理史。（同第一次設計。）

【活動1】

問題1：勾股定理的內容是什么？

生1：直角三角形的兩條邊的平方和等于第三邊的平方。

問題2：在數學史上，有許多數學家專門研究過一類數，這些正整數（a，b，c）滿足關系式a2+b2=c2，滿足這樣關系的正整數（a，b，c）叫做勾股數。

問題3：你能寫出多少組勾股數？請盡可能多地寫出來。（課前布置學生每人快速寫出15組，并判斷是否是勾股數，課堂中直接進行交流。）

生2：（展示寫出的勾股數）（3，4，5），（6，8，10），（9，12，15），（12，16，20）……

師：你怎樣不使用計算器很快寫出這15組勾股數的？

生2：是把（3，4，5）分別擴大相同的倍數得到的。

師：為了便于研究勾股數，對于相同整數倍的勾股數，研究時只選擇最小的那一組。下面請大家來重新選擇一些符合剛才特點的勾股數。

生3：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（8，15，17），（11，60，61），（16，63，65），（20，99，101）。

師：驗證這些數組是否為勾股數，有簡便方法嗎？

生4：可以用平方差公式。

師：平方差公式使用起來會更簡便，尤其是遇到數據很大的時候。

問題4：探索問題1中勾股數的規律。

（安排學生獨立思考3分鐘，然后4人小組進行交流。）

生5：我們小組發現：當a為奇數時，則c=b+1，a2=b+c。

生6：當a為偶數時，則c=b+2，a2=2（b+c）。

師：看來，我們可以從奇數、偶數的角度去研究。請看活動2。

【活動2】

設（a，b，c）為一組勾股數，填表：

（2分鐘后學生就完成表格填寫。）

生7：表1中依次填寫40，60，61；表2中依次填寫35，48，50。

師：現在大家基本了解勾股數的特征了，請繼續完成活動3、4的內容。

【活動3】

（1）在表1中，a為奇數，正整數b和c之間的數量關系是________，b、c與a2之間的關系式是____________。根據以上規律，寫出勾股數（13，____，____）。

（2）一般地，當a=2n+1（n為正整數）時，請給出計算勾股數的一組公式。

生8：（1）c=b+1，a2=b+c，84、85；（2）（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）。

【活動4】

（1）在表2中，a為偶數，正整數b和c之間的數量關系是________，b、c與a2之間的關系式是____________。根據以上規律，寫出勾股數（16，____，____）。

（2）一般地，當a=2n（n為正整數且n>1）時，請給出計算勾股數的一組公式。

生9：（1）c=b+2，a2=2（b+c），63、65；（2）（2n，n2-1，n2+1）。

師：生8、生9回答都不錯，剛才我巡視時，看到大家都能正確完成活動3、4的內容。其實勾股定理是借助直角三角形研究三邊之間的數量關系的，對應地，我們也可以進一步從空間的角度來探究這樣的關系是否成立。請看活動5。

【活動5】

如圖1，已知四邊形ABCD是矩形，AC為對角線，則有AB2+BC2=AC2，即AB、BC、AC滿足勾股定理。

如圖2，ABCD-A1B1C1D1是長方體。圖1中的線段AB、BC、AC分別對應圖2中的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1。若長方體的面ABB1A1、面BCC1B1、截面ACC1A1的面積分別用α、β、γ表示，則是否有α2+β2=γ2成立？請說明理由。（由于本題涉及立體幾何的知識，學生在思考時有些障礙，因此，課堂中安排學生進行小組交流。）

生10：α2=（AB·BB1）2=AB2·BB12，β2=（BC·BB1）2=BC2·BB12，γ2=（AC·BB1）2=AC2·BB12。因為AB2+BC2=AC2，且3個矩形都等高，所以α2+β2=γ2成立。

師：在分析問題時，我們通常把各個部分的值表達出來，然后繼續研究表達式之間的關系，從而有效地分析、解決問題。

……

二、前后教學情況對比

1.教學程序設計不同。

第一次設計，沒有考慮學生已有認知結構的不足，直接給出問題2，導致大多數學生不知道從哪里探索；調整后，首先探究特殊情況下的勾股數的特征，然后再研究一般情況下的勾股數的特征。這樣設計有助于提高探索的效率，更重要的是讓學生通過探索感悟出一般的研究思路與方法。

2.教學效果存在差異。

在第一次教學過程中，大多數學生探索的熱情沒有被激發，并且沒有完成事先預定的教學任務；而在第二次教學過程中，學生特別積極，參與度明顯提高，教學的主體任務基本完成，教學效果也達到了預期目的。

三、教學反思

認知負荷理論告訴我們：人的工作記憶的容量是相當有限的，只能同時處理72個信息組塊，而且在工作記憶系統內的信息的保持時間較為短暫，從而決定了人的認知資源總量是有限的。由于大部分信息的加工都需要認知資源，于是就產生了認知負荷。認知負荷是指某種信息材料在心理加工過程中所需要的認知資源的總量。斯威勒的認知負荷理論認為：有限的工作記憶容量，使人們很難同時加工多種來源的信息；知識以圖式的形式存儲于長時記憶中，圖式建構后能通過實踐進一步自動化，圖式建構能降低工作記憶的負荷；當某種知識（或圖式）含有多種相互作用的元素時，這些知識將加重認知負荷。

認知負荷理論提出了3種基本類型的認知負荷：內部認知負荷、外部認知負荷和相關認知負荷。內部認知負荷取決于所要學習材料的本質與學習者的專業知識之間的交互程度；外部認知負荷是超越內部認知負荷的額外負荷，它主要是由設計不當的教學引起的；相關認知負荷是指與促進圖式構建的圖式自動化過程相關的認知負荷。所以，外部認知負荷和相關認知負荷都直接受控于教學設計者。3種類型的認知負荷是相互疊加的。

1.優化教學活動設計，減輕外在認知負荷。

從2節課的教學錄像可以看出：第二次的教學設計更科學、合理，5個主體探究活動逐漸加難，相互之間聯系緊密，一環扣一環，設計中關注了學生的認知結構，有效減輕了因外在因素而出現的學生認知負荷。

教學設計中，尤其是難度較大的教學內容的設計，需要教師從多角度、多緯度去分析、思考，不斷優化教學設計，幫助學生減輕人為增加的負擔，這樣的教學設計才會受到學生的歡迎。

2.延長探究活動時間，降低內在認知負荷。

實際教學中，預設與生成往往不是相輔相成的，經常會出現新的情況。如第一次教學片段中的學生2，寫出了15組勾股數，其中一組是錯誤的；第二次教學片段中，在學生4回答問題之前，許多學生陷入思考的僵局，等等。

由于綜合與實踐活動的探究難度大，涉及的綜合性知識多，有時學生在某一個方面有所欠缺，就會出現思維障礙。這就是學生自然存在的內在認知負荷。在平時教學中我們也會遇到一些突發性的、沒有預料到的問題，有些甚至是不能立即就能有效解決的。此時，需要教師睿智地加以安排，可組織學生進行小組交流，給學生有足夠的教學時間、空間，或適當降低探究問題的難度，或給出一點啟發，等等，這些措施都有助于降低學生的內在認知負荷，從而使探究活動得以有效開展。

3.擴展活動設計類型，促進學習有效遷移。

第一次教學設計中也安排了擴展、延伸內容，但由于前面活動探究的時間多了，導致后面的拓展活動沒有時間去研究。第二次教學設計中考慮到學生的認知情況，并鋪設一定的臺階，探究效果較好，因此，拓展活動就有了足夠的時間與空間。在課外的探究作業中，筆者設計了上網查詢“費馬大定理”的探究作業。此舉提醒學生關注一些重要問題、重要結論的探究，激發學生的探究熱情，拓寬學生的視野。

隨著學生學習知識的不斷增加，出現一些認知負荷屬于正常現象。為了有效減輕學生的認知負荷，需要教師在教學設計、教學研究等方面不斷開展探索活動，不斷提升自己的專業發展水平，不斷提高教學效率。

（作者單位：南京市第三十九中學）