深化知識經驗 實現自主復習

教學目標：

1.創設情境，激發學生從知識經驗中提取有關函數的基礎知識，進行整合和深化，實現自主復習；

2.在學生自己提出問題、解決問題的過程中，體驗自主復習的方法和成效。

教學過程：

一、研究A、B兩點可能在哪類函數圖象上，復習三類函數的基本知識

師生共同回顧初中階段學過的三類函數：一次函數y=kx+b（k≠0），反比例函數y=（k≠0），二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）。

師：現在在這個平面直角坐標系中，已知A和B兩點，A點的坐標是（1，3），B點的坐標是（3，1），這兩個點有可能在哪一類函數的圖象上？

生：三種函數都有可能。

在教師的引導下，學生把A、B兩點的坐標代入解析式中，得到關于k、b的方程組。解得k=-1，b=4。設這個函數解析式為y1=-x+4。學生還發現：因為反比例函數的解析式可以變形為xy=k（k≠0），而這兩點橫縱坐標的積相等，都等于3，可以判斷它們都在反比例函數y2=的圖象上。

教師畫出大致圖象，再次追問學生：設直線AB和x軸、y軸分別交于M、N兩點，那么，點A、B和M、N、O中哪幾個點能確定一個二次函數的圖象？

在教師的啟發、點撥下，學生研究發現：二次函數的圖象是一條拋物線，它與一條直線最多只有兩個交點，共線的三點不可能都在同一條拋物線上。

師：那么，A、N、O三點為什么不能確定一條拋物線？（學生小組討論。）

生：因為點N和點O的橫坐標是相等的，如果它們在同一條拋物線上，同一個x的值就對應了兩個y的值，就不符合函數的定義。

師生共同研究發現：A、B、O三點所確定的拋物線的開口向下，a為負數；對稱軸在y軸的右側，方程是x=-，a、b異號，所以b為正號。頂點的橫坐標為-■，縱坐標為■。因為拋物線與x軸有兩個交點，所以△>0。畫拋物線的大致圖象，首先要確定拋物線的頂點，然后確定它的對稱軸，再確定拋物線和x軸的交點。要求拋物線的解析式，就要把三點坐標代入解析式，得到一個三元一次方程組。過A、B、O三點的拋物線解析式為y3=-x2+x。

教師畫出圖象：

二、學生閱讀圖象信息，根據已掌握的知識，推出新信息

師：這幅圖中提供了很多信息，圖象有了，解析式有了，圖象之間的交點也有了，圖象和坐標軸的交點也有了，認真地觀察一下，你從現有的信息中還能推出哪些信息？小組中相互交流一下，可能你獲得的信息與別人的不一樣。

生1：當y1>y2時1y3時，x<1或x>3；當y2>y1時，x<1或x>3。（并板書。）

生2：連接AO、BO，就可以求出△AON、△BOM、△AOB的面積。（并板書。）

生3：MN=4，AB=2，∠OMN和∠ONM是45°。（并板書。）

師：他們寫出了這么多信息，正確嗎？嚴密嗎？除了這些信息，你還能得到其他信息嗎？（小組議論。）

師：∠OMN和∠ONM是45°，正確嗎？

生：正確。因為OM=ON。

師：為什么OM=ON？

生：一次函數解析式中令x=0和y=0，分別求出OM、ON的長度。

師：很好，通過這個方法可以得到：①點M、N的坐標；②OM=ON=4；③△MON是等腰直角三角形。

生：我們還可以比較三個函數函數值之間的大小關系：（并板書。）

當x<1時，y2>y1>y3；

當x=1或3時，y2=y1=y3；

當1y1>y2；

當x>3時，y2>y1>y3.

師：好的。因為三個圖象交于同一點，所以我們就以這個點來分界，分別過兩個交點作x軸的垂線，以這兩條直線為分界來研究，但得不到滿分，有誰來完善一下？

生：因為圖中的雙曲線的一支在第一象限，所以要加“當0

師：剛才又說可以求出△AON、△BOM、△AOB的面積，怎么求呢？

生：因為點A在反比例函數圖象上，所以△AON的面積是×（1×3）。

另一學生：不對！

師：為什么？

生：必須是過點A作x軸或y軸的垂線段，垂足與點A、O形成的三角形的面積才等于。

師：對了。反比例函數上任意一點向橫軸或縱軸分別作垂線段，圍成一個直角三角形或者一個矩形，它們的面積都是與k有關的。矩形的面積等于k，三角形的面積等于■。

師：那么△AON的面積該怎樣去求呢？

生：過A點作y軸的垂線段。取ON作底邊，盡可能選在坐標軸上的邊作為底邊，ON=4，這條邊上的高就是另一個頂點A的橫坐標的絕對值。

三、學生以已獲取信息為已知條件，制作新命題，檢驗對已學知識的掌握水平和應用能力

師：以這些研究的內容為條件，我們能不能解決其他的問題呢？我們還能提出哪些可求解的問題？

（學生將提出的問題板書后全班討論）

生：△AON和△BOM是否全等？

師：問得很好，有了OM=ON，∠ANO=∠BMO=45°，是不是就全等了？

生：N的坐標是（0，4），M的坐標是（4，0），A的坐標是（1，3），B的坐標是（3，1），能得到AN=BM。

師：好的。兩個三角形全等后，OA=OB，B點就在以O為圓心、OA長為半徑的圓上。

生：那么，△AON、△BOM位置關系怎樣？

師：你為什么想到它們的位置關系？

生：既然△AON與△BOM全等，那么作直線y=x，點A、B，點M、N都關于直線y=x對稱，點O也在直線y=x上，所以這兩個三角形關于直線y=x對稱。

師：說得非常好，我們能學到這個程度才真正把知識盤活了。△BCM與△NAO是否相似？

生：首先覺得這兩個三角形形狀比較像，但算出邊長不對應成比例，所以不相似。

師：很好。非常深刻。觀察的結果可以為我們提供命題，但這個命題可真可假，如果是真命題必須推理論證，如果是假命題，只要舉出一個反例。

師：我現在還有個問題，我們把直線y1=-x+4、雙曲線y2=、拋物線y3=x2+x沿著y軸方向向下、向左平移1個單位長度，平移后的解析式各是什么？

師生討論后，教師依次板書：

師：我再提個問題：拋物線y=-x2+x上有點P（1，yP）和Q（2，yQ），怎樣比較yP與yQ的大小關系？你們猜猜，我為什么要提這個問題？

生：要研究二次函數的增減性。

師：研究二次函數的增減性，要注意什么？

生：對稱軸。

師：對！必須在對稱軸同側研究。能解決這個問題的人來說說看。

生：拋物線的對稱軸是x=，A點坐標（1，3），作點A關于對稱軸的對稱點A′，那么這兩點到對稱軸的距離相等，所以點A′的坐標是（■，3）。因為點Q的橫坐標是2，■>2，在對稱軸右側y隨x的增大而減小，所以Q點的縱坐標大于A′的縱坐標。

師：很好。再看一個問題：雙曲線y=上有點E（-2，yE）、F（-4，yF）、G（2，yG）、H（，yH），比較yE、 yF、 yG、 yH的大小。這題的意圖是什么？

生：研究反比例函數每一支的增減性。

師：很好！反比例函數的增減性必須在同一象限內研究，二次函數的增減性必須在對稱軸同側研究。

教師引導學生觀察圖象特征，發現在第一象限圖象是下降的，從數的角度看y隨x增大而減小，在第三象限，y也隨x增大而減小，但第一象限內函數值為正，第三象限內函數值為負。

師：今天無論是提出問題還是解決問題，都利用了函數的解析式、性質，研究問題的時候都沒有離開圖象，沒有離開自變量的取值范圍。把這些知識用表格的形式整理一下，需要哪些內容？

生（齊）：需要函數的名稱、圖象、性質。

師：我們得到這樣的表格：

師：今天研究的問題中比較難的是圖象的平移，書本要求直線、雙曲線、拋物線會上下平移，平時學的時候拓展到左右平移，現在我們總結一下：

我們不能死記，要弄清楚道理，使用時還要注意靈活，比如把拋物線y=x2+x+2，向右平移一個單位，再向上平移一個單位，得到的圖象的解析式是什么？

如果改成：把已知拋物線向左平移一個單位，再向下平移一個單位得到y=x2+x+2，要你寫出原拋物線的解析式，你能寫嗎？

生：能！就是y=（x+1）2+（x+1）+1

師：所以腦筋要活。今天關于函數的第一輪復習就結束了，這些知識是從你們的知識儲存中提取出來的，這時的知識不是靜態的，而是活的知識，面對新的問題大家能想到這些知識，它們是我們解決函數綜合題的基礎。

同學們今天的第一個課外作業，就是繼續思考利用函數的性質還可以提出哪些問題，并想辦法自己解答這些問題；第二個課外作業，就是用適當形式系統整理函數的基礎知識。

（作者單位：江蘇省南通市啟秀中學）