數學歸納法淺談

數學歸納法是一種重要的數學思想方法，利用數學歸納法可以解決一些相對比較復雜的問題。同時，歸納法在數學研究中發揮了重要的作用，它是有著豐富內涵的思想工具，有著其他方法所不能替代的作用。華羅庚先生在《數學歸納法》一書中指出：“數學歸納法正是體現了人的認識從有限到無限的飛躍。”人類為了把握無限到有限的飛躍，離不開數學歸納法。本文從數學歸納法的理論基礎著手，闡述了歸納法的原理及其表現形式，繼而分析了歸納步驟的證明思路，提出一些粗略的認識，供大家研究探討。

一、數學歸納法的理論基礎

數學歸納法的發現、發展到應用幾乎經歷了整個數學的發展歷程，是一段漫長的歷史。16世紀中葉，意大利數學家莫羅利科（F·Maurolycus）對與自然數有關命題的證明進行了深入的研究，明確地提出了“遞歸推理”這個思想方法。法國數學家R.帕斯卡（Pascal）在他的《論算術三角形》中首次使用數學歸納法，對莫羅利科提出的遞歸推理思想進行了提煉和發揚。并用其證明了“帕斯卡三角形”口項展開式系數表，中國稱為“賈憲共角性”或“楊輝三角形，”等命題。但“數學歸納法”這一名稱的提出，最早見于英國數學家A德·摩根1838年所著的《小百科全書》的引言中。他指出“這和通常的歸納程序有極其相似之處”，故賦予它“逐次歸納法”的名稱。

雖然數學歸納法早就被提出并廣泛應用了，一直以來它的邏輯基礎都是不明確的。1889年意大利數學家皮亞諾（GYeano）建立了自然數的序數理論，將“后繼”作為一種不加定義的基本關系，列舉了自然數不加證明的五條基本性質，其中歸納公理便為數學歸納法的邏輯基礎。至此，數學歸納法有了嚴格的邏輯基礎，并逐漸演變為一種常用的數學方法。

二、數學歸納法的原理

用數學歸納法證明一個命題時，必須包括下面兩個步驟：

第一步：驗證當n取第一個值（如n=1）時命題成立；

第二步：假設當n=k（k∈N）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。

完成了這兩個步驟，就可斷定命題對一切自然數都成立。這里的第一步稱為奠基步驟，是命題論證的基礎：第二步稱為歸納步驟，是判斷命題的正確性能否從特殊推廣到一般的依據。這兩個步驟密切相關，缺一不可。如果只有奠基步驟而無歸納步驟，那就屬于不完全歸納法，因而論斷的普遍性是不可靠的。反之，如果只有歸納步驟而無奠基步驟，那么歸納步驟中的假設（簡稱歸納假設）就失去依據，從而使歸納步驟的證明失去意義，這一步即使得以證出，其結果也是建立在不可靠的基礎上的，所以仍然不能斷定原命題是否正確。初學者對于上述思想往往缺乏深刻的認識，對用數學歸納法證題，總覺得不大放心，以為這種證法流于形式，證與不證似乎沒有什么兩樣。這種疑慮是進一步學習的絆腳石。只有弄清實質，理解原理，才能學好數學歸納法。

三、數學歸納法的標準形式

由歸納公理，立刻可以得到，設P（n）是關于自然數n的命題，若

1°（奠基）p（n）在n=1時成立；

2°（歸納）在到p（k）（k是任意自然數）成立的假定下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數都成立。

這就是數學歸納法的標準形式通常稱作第一數學歸納法。

適當變換第一數學歸納法中奠基與歸納步驟中的內容，有第一數學歸納法的基本變形。

設P（n）是關于自然數n（n≥n°，n°∈N）的命題，若

1° p（n）在n=n°時成立；

2°在P（k）（k是不小于n°的自然數）成立的假定下可以推出P（k+1）成立，則p（n）對不小于n°的一切自然數都成立。

設P（n）是關于自然數n的命題，若

1°p（n）在n=1，2…時成立；

2°在P（k）（k是任意自然數）成立的假定下可以推出P（k+l）成立，則P（n）對一切自然數n都成立。

能否改變第一數學歸納法中歸納假設的內容，例如在一些情況下，可以假定n≤k成立，代替假定n=k成立。

四、歸納步驟的證明思路

用數學歸納法證題時，關鍵在歸納步驟，而歸納步驟的關鍵，又在于合理應用歸納假設。因此，熟悉歸納步驟的證明思路是十分必要的。就中學教材而論，應用數學歸納法證明的命題大致有兩種類型。

1.能直接應用歸納假設來證明的。證明這類問題時，通常在歸納假設的兩邊同加（或同減）某項，通過適當變換完成證明，對于這種類型的題目，在中學的課本中是比較常見的。

2.不能直接應用歸納假設來證明的。這類命題解題時，一般通過下面兩種途徑，為應用歸納假設創造條件：（1）先將n=k+l帶入原式，然后將所得表達式作適當的變換，從而證得結論；（2）利用其他數學知識，建立P（k）（第k號命題）與P（k+1）（第k+l號命題）的聯系，從而得到結論成立。對于這種類型題目在中學數學的學習中，特別是在高考大題中的出現概率是比較高的。

五、運用“多米諾骨牌效應”模型，建立直觀具體的形象

多米諾骨牌是理解數學歸納法的最好模型。人類的許多（游戲）活動也充分展示了數學歸納法中重要的遞推特征。如中國古代的烽火臺，在古代，沒有現代通訊技術，中國只能通過烽火臺一個接一個的接力傳遞，把發生敵情的緊急消息傳遞給王府，從而贏得寶貴時間，從容應對敵人。中國人逢年過節、喜慶熱鬧之時放的長長鞭炮，也形象地表現出數學歸納法的重要特征：遞歸關系。還有我們喜聞樂見的多米諾骨牌，也形象地表征了遞推關系。據記載，英國邁克·凱尼曾經用了169713塊骨牌豎立了6900米長的骨牌長龍，即多米諾骨牌。在眾人面前，他輕輕推倒第一塊，出現了連鎖反應，半小時內6900塊多米諾骨牌紛紛倒下，全場轟動，創下了一項多米諾骨牌的吉尼斯紀錄。而后，美國約翰·維克漢和埃勒絲·克萊恩花了35天用了255389塊骨牌，擺下了壯觀的多米諾骨牌，電視臺直播了長達53分鐘多米諾骨牌傾倒的過程，氣勢壯觀，創下了多米諾骨牌的團體紀錄（夏興國，1993）。

綜上所述，數學歸納法是一種證明與自然數有關命題的極為科學有效的方法，縱觀科學技術迅猛發展的當今時代，我們對數學歸納法的研究已經取得了很大的進步，通過數學歸納法，我們可以從個別事實中找出一般性規律，但對于它的更加優越的性質和更廣泛的應用仍需要我們繼續努力鉆研。因此，了解數學歸納法發現、發展的歷史，是我們掌握數學歸納法的基礎；對數學歸納法的基本原理的準確理解，是我們運用數學歸納法解題的關鍵。