凸顯數學學習過程的生長性

以學生視角來看數學學習的過程，應該是一個知識生長和思維發展的過程。學生通過學習，“讓已經存在于頭腦中的那些不那么正規的數學知識和數學體驗上升發展為科學的結論”。而教師在教學中能否幫助學生實現這樣一個“生長”的過程，是衡量一節課中教學活動是否有效的重要指標之一。因此，教師在對某個知識內容進行教學準備時，對學生學習這個知識內容的準備狀況需要有所了解，同時還得思考怎樣的目標定位適合這個年齡階段的學生？怎樣的學習活動有利于學生完成知識的生長和思維的發展？下面即以筆者近期研究的“長方體的認識”一課為例，來談談如何站在學生的角度上幫助其實現學習過程的生長。

一、 解讀內容，找準學習落腳點

在設計一節課時，教師需要思考這樣一些問題：學生現在哪里？要把他們帶到哪里？怎樣把他們帶到那里？如何確信已經把他們帶到了那里？而知道學生現在對某個知識內容的了解狀況，是幫助學生發展的基礎。數學學習更是如此。對于 “長方體的認識”一課，從人教版教材內容的編排來看，學生在一年級上冊已初步接觸過立體圖形，其中包括“長方體”。安排于五年級下冊的“長方體的認識”是學生系統學習立體圖形的起始課，是從平面圖形到立體圖形學習的關鍵內容。對學生而言，其認識長方體的特征有兩個重要基礎：一是平面圖形的認識基礎，即知道認識一種圖形的特征需要圍繞點、線、面來研究；二是生活經驗，學生在生活中接觸過許多長方體形狀的物品，有意無意間，對其特征有了相應的認識基礎。

再從本單元內容來分析，“長方體和正方體”的學習包括特征、表面積、體積等相關知識，而這些內容中又以“長方體”特征的理解和掌握為基礎。學生只有真正理解和掌握了長方體的基本特征之后，才能進一步學習表面積、體積等立體圖形的相關知識。因此，本節課的教學，除了對長方體基本特征的理解和掌握之外，最好還能夠讓學生對研究立體圖形的基本方法有所經歷和體驗。

基于以上分析，本節課的教學目標確定如下：

（1）引導學生圍繞點、線、面進行研究，認識并掌握長方體的基本特征，進一步體會研究圖形的一般方法。

（2）通過觀察、操作、想象等數學活動，建立長方體的空間表象，經歷立體圖形學習的基本策略，提高空間想象能力。

二、 思辨流程，抓住學習關鍵點

對于一節40分鐘的課，教師一般可以從兩個角度進行整體思辨：一是整節課學習的背景；二是學生的學習活動。“長方體的認識”可以這樣來思辨。

視角1：長方體的認識置于怎樣的背景下教學有利于學生建構起系統的知識？

長方體形狀在生活中的應用相當廣泛，學生對其形狀特征已有豐富的感性認識。因此，本節內容是從生活實例入手，還是從數學層面入手展開教學，需要作出選擇。在以往的教學中，對長方體的教學更多停留于生活背景，以實物為學習材料研究長方體特征的教學設計較多。筆者在設計這節課時，考慮了學生的生活背景層面，但更多還是注意了把長方體的認識置于圖形認識的背景下展開教學，以點、線、面這些圖形的基本元素為研究對象來研究長方體的特征，欲使學生進一步體驗圖形認識的基本方法。

具體表現在以下幾個方面：

1.課堂導入。

觀察圖形，問：哪個圖形與眾不同？（最后一個）不同在哪里？（平面、立體）

師：這個圖形你們認識嗎？（長方體）

揭示課題（板書）：長方體的認識

讓學生從觀察入手，發現與眾不同的圖形，把長方體的認識置于“圖形”這一背景下引出，擴大了學生認識立體圖形的認知背景，為學生系統建構知識埋下伏筆。

2.主體環節。

以點、線、面的觀察入手，研究長方體的基本特征，最后能夠形成對長方體的整體認識。

點： 8個

棱： 12條 相對4條棱的長度相等

面： 6個 是長方形（可能有相對兩個面是正方形）

相對2個面的面積相等。

在學生對長方體的認識經驗中，直觀感知點、棱、面的數量及面的形狀是有著豐富經驗的。同時，也給學生以認識方法上的引導，即研究立體圖形的特征，需要從點、線、面幾個要素來把握。

3.延伸拓展。

在幾何畫板上進行動態演示，并作如下延伸：

師：如果寬變為0，會變成什么圖形呢？（長方形）學生答后演示。

師：如果高也變為0，會變成什么圖形呢？（線段）學生答后再演示。

師：如果長也變為0，又會變成什么圖形了呢？（點）演示。

回歸到點、線、面之間關系的感悟上來，目的在于讓學生感受立體圖形與平面圖形之間的關系，積累更為豐富的空間觀念。

視角2：以怎樣的認識活動幫助學生認識長方體的基本特征比較有效？

這是一個目標的認識問題，也是教師自我反思本課教學效果的基本問題。“長方體”的基本特征，應該包括點、棱、面的數量及形狀、大小、長短等相關要素。從知識層面上看，學生知道“一個長方體應該具有8個頂點、12條棱（每4條為一組，分3組，且相對的棱的長度相等）、6個面（每2個為一組，分3組，且相對的面的面積相等）”就可以了。但在本節課中，筆者認為，學生認識長方體的特征，從思維邏輯上還應該有這樣的要求：長方體的12條棱中，還可以“有8條棱的長度相等或12條棱的長度都相等”兩種特殊情況；8條棱長度相等時，即為有相對兩個面為正方形的特殊長方體，12條棱長度相等時，即為正方體；面的大小與棱的長度之間存在直接的聯系，量出長、寬、高，就可以知道長方體所有面的大小等。筆者認為，對于一個五年級學生來說，也只有達到這樣的認識層次，才認為是真正認識了長方體的基本特征了。那么，這樣的目標需要怎樣的學習活動來實現呢？教學中，筆者設計了以下兩個活動：

1.搭長方體——探索“棱的特征”。

師：用小棒搭一個長方體，請你思考一下，要幾個接頭？幾根小棒？小棒的長度有什么要求？

學生思考后（不交流），請學生觀察提供的學具，繼續思考：提供的材料能否搭出長方體？（提供的材料中有缺接頭的，也有缺小棒的）

抓住搭不出的，說說問題在哪里？

情況一：不夠12根小棒的組。（邊不夠）

情況二：12根小棒不能分成三組。搭出來后有的“面”不是長方形。

交流分析后得出：搭一個長方體，需8個接頭（即八個頂點）；12根小棒（即12條棱），每4根1組，分3組。

師：剛才4根一組的小棒分別搭在哪里了？

研究每組4條棱的位置，得出相對4條棱的長度相等。

借助“操作”活動探究12條棱的特征，真正要實現的是學生思維的提升，是學生對“長方體”這一空間圖形表象的建立。從設計中可以看出，引導學生思考是這一環節的重要過程。搭之前的思考、觀察小棒過程中的思考、對為什么需要分成3組相等長度小棒的思考等等。這些問題的解決也正是學生對長方體棱的空間表象建立的重要過程。

2.糊面——研究“面的特征”。

師：要想在這個長方體上糊上面，想一想，要糊幾個面？（6個）要糊面，得知道這些面的大小，你怎么來確定這些面的大小呢？（量）

師：你準備怎樣量？

學生思考交流后反饋：

（1）要量12條棱的長度。

（2）只需要量6條棱的長度。（問：為什么只需要量6條棱的長度就可以了？得出：相對面的面積相等。）

（3）只量三條棱的長度。（引導全體學生思考：為什么只量3條棱的長度，就可以知道所有面的大小了？）

討論：所量的三條棱應該是交于一個頂點的三條棱。

說明：這樣的三條棱的長度分別叫長方體的長、寬、高。

糊面也是把研究面的特征置于一個具體的問題解決活動中。在操作方式上，引導學生“量”只是一個假定的操作活動，是一個數學思考的過程，其真正目的是理解“面”的特征。同時，引導學生用“量”的方式思考“面”的特征，進一步強化了學生對長方體“棱”的特征的理解。這是一個滲透了長方體基本性質理解的教學設計，即長、寬、高決定長方體的大小。應該說，這樣設計一舉多得，有利于學生思維的發展。

三、 預設層次，明晰學習發展點

本節課教學，在關注學生學習過程的生長性方面，還反映在以下兩個層面：

1.從單個認識到系統認識的增強。

與傳統的教學相比，本節課的教學從平面圖形與立體圖形的直觀特征引入，拓寬了長方體的認識背景，有利于學生準確把握圖形之間的內在聯系。同時，在本節課的主體探究活動中，改變了以往借助生活中長方體形狀物品的觀察來認識長方體特征的教學方式，以搭長方體為學習活動，增加了實踐活動的數學性，擴大了學生認識的知識背景。另外，在本節課的最后，又回歸到點、線、面、體的觀察與體驗上來，讓學生感受到圖形之間的聯系，為學生系統認識長方體提供了直觀層面的支撐。

2.從直觀認識到空間觀念的發展。

數學學習過程的生長性，不僅僅體現在知識的累加上，更為主要的還在于有利于學生思維能力發展、數學思考能力的提高。因此，本節課在數學活動的設計上，突出了學習過程的數學思考價值。

活動一：搭長方體。提出三個關鍵性問題：①需要幾個接頭、幾根小棒才能搭出長方體？②有12根怎樣的小棒才能搭出長方體？③這3組小棒，怎樣搭才能搭出來？三個問題有著較高的思維層面上的要求，且具有遞進性。課堂上也正是以這樣的效果呈現出來的，先確認需要12根，再討論這12根需要分成3組，又利用搭不成功的小組討論3組小棒該如何搭。三個問題解決的過程，正是學生對長方體“棱”的特征的準確把握的過程。

活動二：給搭出的長方體糊上面。教學中設計了一個關鍵性問題：怎樣量？啟發學生思考。這個活動中不僅僅關注了長方體的“面”的特征的理解，還有利于引導學生思考長方體“棱”與“面”之間的關系，是一個真正把握長方體本質特征的過程。活動中，通過“面”的特征的得出，體會面之間的相等關系，且知道長、寬、高的特征。這樣的設計意圖，在教學中得到了很好的體現。