小學數學問題的表述中確定性也應優先于簡明性

數學問題的表述一般應遵循三個原則，其中之一是確定性原則，即所要表述的內容其含義必須是確定的，不能模棱兩可，既可以這樣解釋，又可以那樣理解。不然的話，將會使人無所適從，無助于數學問題的討論。另一個原則就是簡明性原則，即所要表述的內容必須盡可能簡明扼要，而不能“舍簡就繁、長篇累牘”。否則，也會加大討論數學問題的難度，浪費人們寶貴的時間與精力。數學問題表述的符號化與數學問題表述的簡明性原則密不可分，而后來西方數學在世界數學中占據主導地位也與其數學問題表述的高度符號化有較高的關聯度。第三個原則就是當數學問題表述的“簡明性”與“確定性”發生沖突時，“確定性”應優先于“簡明性”。小學數學問題的表述也不例外，也應該遵循確定性優先于簡明性的原則。雖然小學數學知識體系的呈現受到小學生接受能力的制約，不刻意追求理論體系的完整，適度淡化了數學概念，但小學數學問題的表述在含義上也必須是確定的，否則就會產生歧義進而引發爭議。小學數學教學中，為了培養學生的發散性思維，問題的條件可以具有發散性，解題方法可以具有發散性，問題的答案也可以具有發散性，但問題所表述的含義不能具有發散性。在小學數學問題的表述中，當“簡明性”與“確定性”發生沖突時，“確定性”也應優先于“簡明性”。筆者在與小學數學教師以及小學數學教研員的交流過程中，收集到了幾個容易引發爭議的小學數學問題，在這里與大家分享，并進行進一步的辨析。

問題之一：“1個數比另1個數多幾分之一”的含義是什么？

包頭市一所小學六年級數學綜合測試卷中有這樣一道選擇題：甲數比乙數多，則甲、乙兩數之比是（ ）。學生選擇了選項中的5：4，老師給判了“對”。在另一個學校的測試卷中也有類似的一道填空題：（ ）比32多？學生的答案有兩種，一種是32，另一種，老師給出的答案是32。很明顯，兩所學校的數學教師對于“1個數比另1個數多幾分之一”的含義的理解是不一致的，同一所小學的學生對于“1個數比另1個數多幾分之一”的含義的理解也不盡相同。這是為什么呢？對此我產生了濃厚的興趣，想探個究竟。于是就與前面那所小學的那位數學教師進行了交流，她給出的理由是：“‘今年的產量比去年的產量增加了1%’的含義是‘今年的產量比去年的產量增加了去年產量的1%’，‘1%’是一個比，‘甲數比乙數多’中的‘’也是個比，因此‘甲數比乙數多’的含義也應該是‘甲數比乙數多乙數的’，所以那道試題中的選項5：4是正確的”。我就問她：“‘’一定是比嗎？比多多少？”她陷入了沉思。

辨析：“1個數比另1個數多百分之幾”或“1個數比另1個數少百分之幾”這樣的表述，是一種約定俗成的表述，因為“百分之幾”是一個特定的比，它不會被理解為一個數，所以“1個數比另1個數多百分之幾”或“1個數比另1個數少百分之幾”的含義是“1個數比另1個數多另1個數的百分之幾”或“1個數比另1個數少另1個數的百分之幾”，不會被理解為其他的含義，根據表述的簡明性原則，可以把“1個數比另1個數多另1個數的百分之幾”或“1個數比另1個數少另1個數的百分之幾”簡述為“1個數比另1個數多百分之幾”或“1個數比另1個數少百分之幾”。但是，在“甲數比乙數多”的表述中，既可以看作一個比，也可以理解為是一個數，這樣，一部分人把看作一個比，認為“甲數比乙數多”的含義就是“甲數比乙數多乙數的”，即“甲數減去乙數等于乙數的”。而另一部分人則認為這里的是普通的數，“甲數比乙數多”的含義就是“甲數減去乙數等于”。引發這一爭議的原因是對“1個數比另1個數多幾分之一”的含義的理解不同。在應用問題中，這樣的分數表示一個比還是一個數量是好區分的，帶單位的是數量，不帶單位的可以單純地理解為是比。只有在不帶單位的非應用題中，才會產生歧義進而引發爭議。根據“確定性”應優先于“簡明性”的原則，我們應該在不易混淆或引發爭議的前提下追求表述形式的簡明。而現在的情況是“1個數比另1個數多幾分之一”這樣的表述引發了爭議，再把“1個數比另1個數多另1個數的幾分之一”簡述為“1個數比另1個數多幾分之一”就不太妥當了。

建議：在文字題這種特定情況下，將“1個數比另1個數多幾分之一”中“幾分之一”看作普通的數，將它的含義規定為“兩個數的差等于幾分之一”。而要表述“1個數比另1個數多另1個數的幾分之一”這樣的意思時，就不能簡略地表述為“1個數比另1個數多幾分之一”，以示區別。1985年內蒙古自治區呼和浩特市小學升初中招生數學試卷有一道選擇填空題：“比60的少的數是（ ），[15，29]。” 答案為29，可見出題者的本意與這一建議是一致的。也有出題者的本意與這一建議不相符的情況，比如有這樣一道小學六年級數學練習題：甲數比乙數大四分之一，那么乙數比甲數小多少？很明顯，出題者想要考察的是六年級學生對于分數相關知識的運用，不希望學生把“四分之一”看作1個數，想要的答案不是“四分之一”，而希望學生把其中的“四分之一”看作比，想要的答案是“五分之一”。但當有學生給出答案“四分之一”時，出題者又該如何應對？

問題之二：半圓是扇形嗎？

這個問題的提出源于一道判斷題：半圓是扇形。一般人給出的答案是正確的，但也有人[1]認為應該是錯誤的。爭論源于對于“半圓”含義的不同理解，肯定者認為這里的“半圓”指的是“半圓形”，否定者認為這里的“半圓”實質上是一段弧。

辨析： “半圓”確實是一段弧，連接這段弧的兩個端點就形成了一個封閉的平面圖形——“半圓形”，在一定意義下，每一個“半圓”對應唯一的一個“半圓形”，反過來，每一個“半圓形”對應唯一的一個“半圓”，因此，在不易引起混淆的情況下，可以把二者等同起來看待，根據簡明性原則可以把“半圓形”簡稱為“半圓”，也可以用“半圓”來代替“半圓形”。例如，一般把“半圓形的面積”說成是“半圓的面積”，而人們對于“半圓的面積”這一表述的理解也絕不會是那段“弧”的面積，因為那樣的一段“弧”根本就不是一個封閉的平面圖形，因此也就沒有面積之說。同樣，在一般情況下，也可以把“半圓是扇形”這一表述的含義理解為“半圓形是扇形”。但在特定情況下，比如是一道判別正誤的判斷題時，“半圓是扇形”這一表述就存在一定的問題，不同的人會有不同的理解，進而引起爭論，一部分人會認為，既然可以把“半圓”理解為“半圓形”， “半圓是扇形”就是對的。而另一方面，也會有人會說，“半圓”是一段弧，一段“弧”怎么能夠成為扇形呢？因此“半圓是扇形”是錯的。于是，把“半圓是扇形”編成判斷題時，是易混淆的情況，這時 “簡明性”與“確定性”發生了沖突，根據“確定性”應優先于“簡明性”的原則，就不能再把“半圓”與“半圓形”等同起來看待，“半圓形”也就不能簡稱為“半圓”。

建議：在判斷題中將“半圓是扇形”的表述改為“半圓形是扇形”。對于小學生來說，出題者的本意應該是要考查半圓形是否是扇形，而不是一段“弧”是否是扇形。

問題之三：“a與b的倒數之和”的含義是什么？

問題源于一道小學數學習題：求2與10的倒數之和。

學生給出的答案有兩個，一個是

+=，

另一個是

2 += 2。

辨析：“與”可以用來表示并列關系，前者把“2”與“10”看作并列的對象，用來修飾“倒數”一詞，進而把“2與10的倒數之和”理解為“2的倒數與10的倒數之和”，即把“2的倒數與10的倒數之和”簡述為“2與10的倒數之和”，并表示為“+”；而后者把“2”與“10的倒數”看作并列的對象，用來修飾“和”這個詞，“2與10的倒數的和”也可以理解為是 “2 +”。從漢語的語義來講，這兩種理解都是可以的，但這卻有悖于小學數學表述的確定性，這是一類由于在表述中并列關系的不確定性而產生歧義。

建議：把“a與b的倒數之和”的含義規定為 a +，而要表述“+”時，基于數學問題表述的“簡明性”與“確定性”發生沖突時， “確定性”應優先于“簡明性”的原則，不再簡述為“a與b的倒數之和”，而要表述為“a的倒數與b的倒數之和”或簡述為“a、b兩數的倒數和”。

在這里我們可以得到一點啟示，無論是在編制小學數學題目時，還是在小學數學課堂教學中，數學問題的表述都要反復進行推敲，要注意使問題的表述具有確定性。當“簡明性”與“確定性”發生沖突時，也就是在追求“簡明性”時如果破壞了“確定性”，就應適當降低“簡明”的程度以確保 “確定性”，也就是“確定性”應優先于“簡明性”。

參考文獻

[1] 秦治國.一道判斷題引發的爭議.中小學數學（小學版），2008.（1～2）.