追源溯本“線”“面”分離

“面積和周長(zhǎng)”是小學(xué)低段學(xué)生最初接觸到有關(guān)圖形的計(jì)算。人教版教材中將周長(zhǎng)定義為封閉圖形一周的長(zhǎng)度，在習(xí)題中一般表現(xiàn)為所有邊長(zhǎng)的和，用長(zhǎng)度單位衡量；面積指的是物體的表面或封閉圖形的大小，用面積單位衡量。但在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生常常把面積和周長(zhǎng)這兩個(gè)概念混淆，導(dǎo)致出錯(cuò)。

一、問題提出

問題1：周長(zhǎng)和面積分別是哪部分？

人教版教材三年級(jí)下冊(cè)第8頁(yè)練習(xí)十九的第11題：在一張邊長(zhǎng)為10厘米的正方形紙中，剪去一個(gè)長(zhǎng)6厘米、寬4厘米的長(zhǎng)方形。小明想到了三種方法（如下圖），剩下部分的面積是多少？剩下部分的周長(zhǎng)是多少？

本題課本中給出示意圖，降低了解題難度，但在實(shí)際解題中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)本題的理解有一定困難。特別是第二個(gè)圖形和第三個(gè)圖形周長(zhǎng)的解答，即“剪去一個(gè)長(zhǎng)方形后，剩下部分的周長(zhǎng)包括哪幾條邊”，學(xué)生不夠明確。根據(jù)學(xué)生的練習(xí)情況，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤基本有以下三種：（1）學(xué)生利用長(zhǎng)方形對(duì)邊相等這一性質(zhì)，剪去圖形后，計(jì)算時(shí)遺漏多出來(lái)的邊；（2）計(jì)算每條邊相加時(shí)，每一條邊是多少不清楚，這是對(duì)邊與邊關(guān)系不理解造成的；（3）將面積與周長(zhǎng)混淆，甚至有學(xué)生用“原面積-周長(zhǎng)”或“原周長(zhǎng)-面積”來(lái)進(jìn)行計(jì)算。

問題2：周長(zhǎng)和面積的關(guān)系是什么？

習(xí)題（1）：一塊長(zhǎng)方形菜地和一塊正方形菜地的面積相等，正方形菜地的邊長(zhǎng)是24米，長(zhǎng)方形菜地的長(zhǎng)是36米，寬是多少米？

習(xí)題（2）：一個(gè)正方形和一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)相等。已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是26厘米，寬是14厘米。正方形的面積是多少？

在正方形和長(zhǎng)方形中，長(zhǎng)和寬或者邊長(zhǎng)是連接周長(zhǎng)和面積的紐帶。以上兩題便是利用長(zhǎng)和寬或邊長(zhǎng)之間的關(guān)系和“相等”一詞來(lái)建立關(guān)系式，把找長(zhǎng)和寬作為解題的突破點(diǎn)。在學(xué)生的解題過程中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)題中給出的數(shù)十分敏感，看到數(shù)就很興奮，想著如何利用這些數(shù)去套用公式，忽視了文字呈現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系和邊長(zhǎng)在解題中的紐帶作用，陷入了套用公式的誤區(qū)。

二、原因分析

分析以上問題，其產(chǎn)生的原因有以下兩個(gè)方面。

1.教學(xué)中強(qiáng)調(diào)分離異位

首先，教學(xué)中對(duì)面積和周長(zhǎng)的特點(diǎn)分離不夠。在“周長(zhǎng)和面積”教學(xué)中，教師一般采用摸、畫、量、算等方法來(lái)引導(dǎo)學(xué)生建立周長(zhǎng)和面積的概念。可我們沒有注意到的是，課堂中教師雖然是出示一個(gè)物體，告訴學(xué)生物體的邊框是周長(zhǎng)，但學(xué)生看的時(shí)候，往往是既看到物體一圈的長(zhǎng)度，又看到了物體的面，導(dǎo)致周長(zhǎng)和面積沒有很好的單獨(dú)區(qū)別開來(lái)，給部分學(xué)生的理解造成干擾。同樣，我們?cè)谌粘Ｉ钪锌吹降奈矬w，“線”和“面”是一起看到的，不利學(xué)生表象的建立。

其次，過分強(qiáng)調(diào)公式。教學(xué)中引出公式后，教師便不斷地引導(dǎo)學(xué)生利用公式進(jìn)行解題。其實(shí)，周長(zhǎng)并沒有什么計(jì)算公式，無(wú)非就是幾條邊加在一起，學(xué)生往往在不斷的練習(xí)中記住的是死的公式，而不是靈活的解題方法。

2.學(xué)生空間思維的局限與解題定式

首先，在思維方式上，小學(xué)低段的學(xué)生以形象思維為主，空間想象能力比較薄弱，往往需要借助直觀演示、動(dòng)手操作等方式感知空間觀念。所以，一些文字概念較多的題對(duì)低段學(xué)生來(lái)說(shuō)難度是比較大的。

其次，小學(xué)低段學(xué)生在解題中，更容易出現(xiàn)“重結(jié)果，輕方法”的現(xiàn)象。很多學(xué)生面對(duì)練習(xí)題時(shí)，首先想的是如何利用給出的數(shù)據(jù)套用公式進(jìn)行解題，而不是分析這些數(shù)據(jù)背后的意義，判斷數(shù)據(jù)是不是有用，它們背后的聯(lián)系是什么，是否是解題的橋梁或者紐帶。

三、有效教學(xué)策略的思考

觀察是學(xué)生認(rèn)識(shí)事物最直接的一種方法。因此，在小學(xué)低年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可先引導(dǎo)學(xué)生觀察實(shí)物，形成直觀的印象，然后尋找發(fā)現(xiàn)問題的方法，通過表述和交流形成鮮明的直觀形象，建立空間表象，發(fā)展空間觀念。

1.提高培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的意識(shí)

空間觀念是數(shù)學(xué)新課程中的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)生應(yīng)具備的一種基本數(shù)學(xué)素質(zhì)。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在小學(xué)各學(xué)段，從不同層次關(guān)注學(xué)生空間觀念的發(fā)展。因此，教師應(yīng)當(dāng)樹立一種培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的意識(shí)。

低年級(jí)學(xué)生受認(rèn)識(shí)水平的影響，對(duì)抽象圖形的理解比較模糊，但對(duì)于現(xiàn)實(shí)中可接觸到的事物他們卻表現(xiàn)出濃厚的興趣。因此，教學(xué)中教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的心理特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)寬松的教學(xué)環(huán)境，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得良好的空間認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。例如，教學(xué)“周長(zhǎng)”時(shí)，可以創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣的故事情境，用多媒體直觀展示小螞蟻沿著樹葉的邊緣爬一周的過程，讓學(xué)生直觀感受到周長(zhǎng)的意義。

2.注意周長(zhǎng)與面積的區(qū)別和聯(lián)系

周長(zhǎng)與面積混淆的現(xiàn)象出現(xiàn)在呈現(xiàn)兩者計(jì)算公式之后，究其原因，是學(xué)生頭腦中對(duì)周長(zhǎng)與面積概念的本質(zhì)缺乏清晰和深刻的理解。

例如，一位教師這樣教學(xué)“周長(zhǎng)與面積”的比較課：（1）在黑板上貼出四個(gè)不同的圖形（圖形的一周貼了一圈白邊），請(qǐng)學(xué)生指一指這些圖形的周長(zhǎng)。（2）學(xué)生指出周長(zhǎng)后，教師追問：“用什么辦法可以知道這些圖形的周長(zhǎng)？”學(xué)生回答：“用尺子分別量出這些圖形一周的長(zhǎng)度。”（3）教師順勢(shì)把圖形一周的白邊揭了下來(lái)，用小磁鐵壓在黑板上，說(shuō)道：“周長(zhǎng)就是求封閉圖形一周的長(zhǎng)度，就是長(zhǎng)長(zhǎng)的一條線。”在上述案例中，教師用紅色卡紙剪成四個(gè)不同的圖形，并在圖形的一周分別用雙面膠貼了一圈白邊，因此呈現(xiàn)在學(xué)生面前的是紅底白邊的圖形。當(dāng)學(xué)生說(shuō)出量圖形一周的長(zhǎng)度時(shí)，教師順勢(shì)把白邊揭了下來(lái)，然后用小磁鐵壓在黑板上，非常直觀地再現(xiàn)了周長(zhǎng)的本質(zhì)，原來(lái)這“邊”還可以掛在黑板上。此時(shí)黑板上形成了鮮明的對(duì)比，一邊是周長(zhǎng)，掛著長(zhǎng)長(zhǎng)的四條白邊；一邊是面積，紅紅的一整片。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，給學(xué)生造成強(qiáng)烈的視覺沖擊，其中的差別不言而喻。

又如，教學(xué)“周長(zhǎng)和面積”一課，教師先出示一個(gè)大正方形，接著在大正方形中取一個(gè)小正方形，再將小正方形移到大正方形的右面（如下圖），請(qǐng)學(xué)生先觀察，然后提問：“這個(gè)圖形的面積變化了沒有？周長(zhǎng)變化了沒有？”讓學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)周長(zhǎng)與面積的區(qū)別。

3.適當(dāng)延緩公式的引入

教學(xué)中，教師可利用多種不規(guī)則圖形，讓學(xué)生體會(huì)什么是圖形的周長(zhǎng)、什么是圖形的面積，在不斷的聯(lián)系與比較中，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)周長(zhǎng)和面積的概念，并利用長(zhǎng)方形和正方形的特征概括出相應(yīng)的公式。

例如，教學(xué)“周長(zhǎng)與面積”時(shí)，可以讓學(xué)生先指一指多種不規(guī)則圖形（如下）的周長(zhǎng)，然后摸一摸它們的面積，體會(huì)周長(zhǎng)與面積的差別。

需要注意的是，教師在教學(xué)之前，可給學(xué)生設(shè)計(jì)一些動(dòng)手操作的實(shí)踐活動(dòng)，讓他們體會(huì)面積和周長(zhǎng)之間的關(guān)系。對(duì)于概念的理解，要允許學(xué)生有一個(gè)反復(fù)的過程，只有在不斷地對(duì)比、不斷的解決問題中，學(xué)生對(duì)面積和周長(zhǎng)才會(huì)加以區(qū)別。

4.充分利用“畫數(shù)學(xué)”的方法幫助學(xué)生建構(gòu)與解題

“畫數(shù)學(xué)”就是讓學(xué)生在畫畫的過程中，去參與知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，提高主動(dòng)獲取知識(shí)的能力。心理學(xué)家認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是發(fā)展數(shù)學(xué)能力的突破口。低年級(jí)學(xué)生以直觀形象思維為主，思維的方法比較單一，而運(yùn)用“畫數(shù)學(xué)”的方法可以培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

首先，“畫數(shù)學(xué)”能提高學(xué)生把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語(yǔ)言的能力，其實(shí)這也是對(duì)數(shù)學(xué)的抽象概括。

其次，“畫數(shù)學(xué)”能較好地把學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過程展示出來(lái)。不同的學(xué)生有不同的畫法，表現(xiàn)出不同的思維過程，學(xué)生在交流和比較中掌握了不同的思維方法。即使是同一學(xué)生，在“畫數(shù)學(xué)”的過程中也能激起思維的火花，從而使自己的思維得到發(fā)散。

如文中的第一道例題，學(xué)生不難畫出示意圖，即先畫一個(gè)邊長(zhǎng)為10厘米的正方形，并在里面畫一個(gè)長(zhǎng)與寬分別為6厘米和4厘米的長(zhǎng)方形，表示截下。通過畫圖，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)的截圖現(xiàn)象并不僅有課本給出的三種情況，有學(xué)生通過思考和分析畫出如右的圖形。

新課程理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)，更應(yīng)該注重學(xué)生創(chuàng)造力的培養(yǎng)。在低段數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用“畫數(shù)學(xué)”這一方法時(shí)，能讓不同學(xué)習(xí)水平、不同思維特點(diǎn)的學(xué)生在畫的過程中都有機(jī)會(huì)表達(dá)自己的思想，而不是用統(tǒng)一的模式要求所有的學(xué)生。從實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在畫的過程中不僅能舉一反三，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，而且有豐富的想象力，喜歡出“新點(diǎn)子”，愛標(biāo)新立異和發(fā)表與別人不同的見解。

周長(zhǎng)和面積的本質(zhì)是線與面，學(xué)生在學(xué)習(xí)中易于混淆卻依然有法可尋。因此，在課堂教學(xué)中，教師可讓“線”和“面”盡情碰撞，激發(fā)學(xué)生思維的火花。