問題引領 把握本質

“百分數的意義”是節經典的老課，很多數學名師都用過這節課展現自己的課堂教學藝術，后起新秀更是頻頻用這節課來“小試牛刀”。因此，有關這一內容的課例可謂異彩紛呈。俞老師以數系的擴充、數感的培養為線索，巧妙地設計了一系列問題，引領學生掌握百分數的本質，看似“粗糙”的背后，蘊含著他對這節概念課教學獨特而深刻的思考。

一、類比鄰近概念，溝通新舊聯系

任何數學概念必定有與之相關的鄰近概念，所以教師教學中要以學生已掌握的知識為基礎，從新概念的鄰近概念出發，引導學生探求新舊概念之間的區別和聯系。這樣有助于學生掌握概念之間的相互聯系，提高學生對數學理論整體性與嚴密性的把握。

上述對分數和百分數定義的表述，比較清晰地詮釋了百分數的內涵、外延以及與分數的關系。十進分數集是分數集的子集，百分數集又是十進分數集的子集。相對來說，分數是上位概念，百分數是下位概念。百分數的意義是建立在分數意義的基礎上，它與分數意義之一“一個數是另一個數的幾分之幾”同屬一個含義。百分數既然是分數的下位概念，那么百分數與分數有何聯系和區別呢？

教學片斷2：

（出示：①甲堆煤重噸；②甲堆煤是乙堆煤的）

師：看到這兩個，你的感覺一樣嗎？不一樣在哪里？

生：不一樣。第一個表示具體的量，第二個表示分率。

師：看到第一句話，你想到的是幾堆煤？

生：一堆煤。

師：那么，看到第二句話時，你想到的是幾堆煤？

生：兩堆煤。

師：對了。看到第一句話，我們就清晰地知道是一堆煤，而且1噸不到；而第二句話說明有甲和乙兩堆煤，且不管它們各有多少，總是甲堆少乙堆多，如果甲堆是1份，那么乙堆就是這樣的4份，這里的是兩堆煤的關系。

師：如果讓你用百分數和這兩個分數排親戚，你覺得跟哪個是親戚呢？

生：第二個。

師：哪一個能改成百分數，改成百分數是什么呢？

生：第二個，甲堆煤是乙堆煤的25%。

師：同學們，同樣是分數，同樣都是，表示的意思是不一樣的，一個有單位，表示具體的量；一個沒有單位，表示一種關系。而百分數也表示一種關系，是誰的百分之幾或者誰占誰的百分之幾這樣的數。

……

至此，俞老師巧妙地溝通了百分數與分數的“親戚”關系，溝通了新舊知識之間的聯系，也回答了“百分數是分數嗎”這個問題，讓學生在實際情境中理解了兩者的聯系和區別：分數既可以表示一個具體的數量，又可以表示兩個數之間的倍比關系；任何分數要成為百分比（百分率），都需要一定條件，即這個分數是表示兩個同類量的倍比關系。

二、體驗產生過程，把握概念本質

讓學生體會概念產生的源頭， 親歷概念形成的過程，自主抽象概括形成概念，是概念教學的有效方式。俞老師以“既然有了分數，為什么還要有百分數呢”這個問題為引領，讓學生在問題情境的體驗中感知概念，提煉概念的本質。

教學片斷3：既然有了分數，為什么還要有百分數呢？

師：“甲堆煤是乙堆煤的”，既然這里能用來表示，為什么要寫成百分數呢？

……

俞特看似“唯恐天下不亂”的提問，其實是早有“預謀”的：從數系的擴充角度來分析，如果說自然數都是“數對應物”產生的，即“1”對應著“一個”、“2”對應著“兩個”……那么，分數就是“數對應著一對物的關系”所產生的，即對應著甲堆煤與乙堆煤的關系，是一對物的比較；而百分數則是“數對應著兩對及兩對以上物的關系”產生的，如果是“一對物”的比較用分數就行了，而“兩對及兩對以上”的比較就需要用到百分數了，這就是百分數概念的本質。

教學片斷4：

師：假如有三個人比賽投籃，誰的水平高，是比什么？

生1：比命中率。

師：“命中率”是什么意思？

生2：投中的占全部的幾分之幾。

生3：用百分數表示。

師：大家看，用百分數表示后一眼就能看出誰的命中率高，誰的命中率差一些?？磥恚俜謹当阌诒容^。

師：那我再問一個問題。如果這里沒有其他的人，只有一個“明”，你覺得這里有必要化成百分數嗎？

生4：沒有必要。

生5：如果“明”要和自己以前的成績比，就需要化成百分數。

師：也就是當有“明1”“ 明2”“ 明3”時，或者有多個人比較時，就需要化成百分數比較方便，而只有一個人的時候，不需要化成百分數。

……

俞老師的這一設計，充分考慮了數系擴充的一般規律“數對應物——數對應一對物的關系——數對應兩對及兩對以上物的關系”，而且突出強調了百分數概念的本質。如果僅僅突出“百分數是由于比較的方便而產生的”這一表面特點，顯然有些生拉硬拽，刻意地將百分數強加給學生，也就是無端地夸大了百分數便于比較的功能。其實，單從比較是否方便而言，化成小數比較更直接。俞老師之所以設計“既然有了分數，為什么還要有百分數呢”這一問題，就是讓學生在質疑的過程中體會百分數產生的實際意義，既讓學生知道使用百分數在現實生產、生活中有利于統計和比較，又真正建立百分數和相關數學知識的實質性聯系。

（責編 杜 華）