淺談基于APOS理論下的負數概念教學

一、問題提出

數學是研究數量關系和空間形式的科學，它利用符號語言研究數量、結構、變化以及空間模型等概念，是由概念、命題、推理組成的知識體系。高度抽象性和嚴密邏輯性是這門學科的特點，使數學成為一門以抽象思維為主的學科，使數學學習活動成為一種特殊的學習活動。概念是對事物本質的認識，對概念的理解就是對事物本質的理解。中學數學教學大綱中明確指出：“正確理解概念是掌握數學基礎知識的前提。”數學的抽象性就其本質而言是一種建構活動，對于數學概念的教學，應通過揭示數學知識發生、發展的過程，盡量幫助學生理解所學知識的數學本質，讓學生主動建構知識，從而獲得概念。數學概念是邏輯思維的最基本單元和形式，數學概念本身具有高度抽象性，通常很難給學生直觀展示，這成為教學過程中的一個難點。探討數學概念教學規律一直是數學教育領域的熱點問題之一。

在數的發展過程中，自然數是有理數的基礎，有理數是實數的基礎，實數理論又是微積分的基礎。負數是數系的一個重要組成部分，傳統教學都是在初一年級安排學習負數。由于受思維定式的影響，很多學生在開始接觸負數時都感覺困難，所以負數是初中數學教學的一個難點。新一輪基礎教育數學課程改革在小學二學段要求“在熟悉的生活情境中，了解負數的意義，會用負數表示日常生活中的一些量”，因此了解小學生負數概念的學習情況，研究小學數學負數概念教學有著重要的現實意義。

二、理論基礎

對于兒童的數學能力是如何發展的，一直以來存在著不同的理論和觀點。皮亞杰認為：“兒童數學知識的獲得是他們在自己的活動中對外部世界的主動建構，兒童數學能力的發展是他們的認知結構從低層次向高層次轉換的過程，這一結構的產生與轉換依賴于邏輯能力的發展和一種內部的思維反思過程，認識發展的過程要經歷同化、順化、平衡三個階段。”傳統概念同化教學模式的基本步驟如下：第一，揭示概念的本質，給出定義。例如，加法交換律的本質是交換加數的位置和不變，用關系式A+B=B+A表示。第二，對概念進行特殊分類，揭示概念的外延，如平行四邊形的學習。第三，概念的應用，對概念進行識別，建立概念與其他概念的聯系。

在皮亞杰的研究基礎上，杜賓斯基等者根據數學學習的特點，提出數學概念學習要經歷操作（Action）、過程（Process）、對象（Object） 和概型（Scheme）四個階段。APOS 分別是由這四個英文的第一個字母組合而成。操作（Action）階段：為了引出數學概念需要進行的活動或操作。過程（Process）階段：把操作活動綜合形成數學概念。對象（Object）階段：把數學概念上升為一個獨立概念來處理。概型（Scheme）階段：形成包括上述三個過程的綜合心理圖算式。

APOS理論是同化教學理論的發展，活動階段是兒童通過對外部世界的觀察和實際獲得的經驗來理解數學抽象或數學關系。“操作A”是學生建構數學概念的起點，是學生理解概念的一個必要條件。通過活動讓學生親身感受概念的直觀背景和概念間的關系，為過程階段提供感性的素材。“過程P”是學生對活動進行思考，通過觀察、聯想、歸納、概括，對活動進行描述和反思，抽象出概念所特有的性質。“對象O”是通過前面的抽象，認識到了概念本質，對其賦予形式化的定義及符號，成為一個具體的對象。在以后的學習中，以此為對象去進行新的活動。對象化既是概括的結果，也是新認識的起點。“概型S”是在頭腦中形成綜合的心理圖式，這一圖式含有具體的概念實例、抽象的過程、完整的定義以及與其他概念、規則、圖形等的聯系和區別。

三、APOS理論下負數概念的教學設計

1.教材分析

數的概念產生于日常生活中的實物計量，但真正與實體直接相關聯的1368530edf9cf6d2d25cb0c6775a3b9b、通過日常經驗可以獲得的數只有自然數，其他的數都要理性的思考才能獲得。數系擴充存著在兩種不同的認知體系，一種是數的自然擴充過程，它反映了人類對數的認識的歷史發展進程，這個過程為自然數數→正有理數→簡單無理數→零與負數→復數→嚴格的實數系；另外一種是數的邏輯擴充過程，是適應數學邏輯發展需要構造的邏輯體系，采用添加元素的辦法，遵循[N] [添加0][N0] [添加正分數0][Q+0] [添加負分數][Q] [添無理數][R] [添加虛數][C]的過程。現行的中小學數學教材通常采用第二種擴充辦法，每次擴充都從某種測量的實際需要出發來說明擴充的必要性，并說明某一運算的逆運算在原有數集中不能完全以實施，某一方程在原有數集中無解。以人民教育出版社小學數學新教材為例，“認識負數”安排在六年級下冊，共編排了4個例題，第1個例題與溫度計有關，第2個例題是收入與支出問題，第3、第4個例題與數軸相聯系。根據APOS理論，我們就小學階段負數概念教學進行了有益的探索。

2.教學設計

（1）操作階段：創設情境，引入概念。

概念的引入要考慮學生的認知規律，體現直觀性和可接受性原則，解決概念引入的必要性問題。負數不是由測量產生的，不能通過實物操作獲得負數的概念，但小學生已經建立起高低、前后、左右等具有相反意義的概念，教學中可充分利用溫度這一學生熟悉的事物創設生活情境展開。負數這一概念安排在六年級下冊第一單元，也就是下學期開學時的新課，這一段時間重慶城區白天氣溫很多在零度以下，所以教學可設計兩種方案：如果天氣狀況允許，就安排實地的觀測活動；如果天氣狀況不允許，就創設情境進行教學。課堂教學中，我們經常采用第二種方案。首先出示兩組圖片，一組是零度以下，如飄雪、結冰；另外一組零度以上，如夏天重慶地區的生活照片，然后問學生怎么表示不同情況下的氣溫。接著播放一段中央電視臺的天氣預報視頻，讓學生觀察溫度的表示和讀法。接下來用電子體溫表真實測量人的體溫，讓學生觀察溫度計上升的過程，引導學生得出這時候的讀法。最后出示溫度計教具，根據例1的情境在教具上撥出相應的溫度，引導學生認識負數。

操作實際上是學生對于感知到的對象進行轉換，以實際經驗來獲取信息，通過實驗、觀察，經歷數學概念形成過程的一個反省抽象的活動。在負數概念教學中，教師合理設計并開展操作活動，提供充足的時間和空間讓學生動腦、動眼、動口、動手，使之在操作中感知領悟，體會生活中引入負數的必要性。

（2）過程（Process）階段：抽象概括，表述概念。

概念的概括實際上就是數學概念的定義，是從已知概念明確另外一個概念內涵的邏輯方法。教學中應該充分發揮學生的主動性，通過獨立思考、合作交流等多種形式，給學生營造一個再發現、再創造的氛圍。小學階段很多是從外延的角度給出概念的形式定義，以便于學生對概念的掌握。負數這個概念，學生通常是從以前學過的數前面添上減號去理解和接受的。

（3）對象階段：深入理解，剖析概念。

（4）概型階段：實際應用，形成圖式。

通過上面三個階段，負數概念已經形成一種含有具體實例、抽象過程、完整定義以及和其他概念（如零和負數等）既有區別又有聯系的綜合心理圖式。概型階段要加強應用，幫助學生形成穩定的心理圖式。例4是已知溫度，如何在數軸上表示一周氣溫的問題。相對前面的例題而言，這是一個逆向思維的問題，該問題的解決包含了實數大小比較的問題。教學中應當深化學生對所學概念的理解、把握與應用，有意識地加強學生分析問題與解決問題的能力。

個體對操作、過程、對象以及他自己頭腦中原有的相關方面的問題圖式進行相應的整合，就會產生新的問題圖式，這種圖式的作用和特點就是可以決定某些問題或某類問題是否屬于這個圖式。這個階段，概念已經從具體中抽象出來，而這個抽象的過程中又有了對概念的完整的定義，是對以上三個層次的綜合。個體的思維和認識狀況，在這種持續建構中已經上升到更高的新的層次。

總之，學習數學概念就是對數學對象、圖式的一種漸進的建構過程，教學設計中應該注意。操作、過程、對象、概型四階段是一個整體，教學中應以操作為先導，在活動過程中反思，讓學生經歷概念形成的各個階段，分層漸近地展開各個教學環節。同時也應該注意，雖然各階段的目標不一樣，但各階段沒有嚴格的區分，對象階段與圖式階段可以循環往復。一個數學概念由“過程”到“對象”的建立有時是既困難又漫長的，“過程”到“對象”的抽象需要經過多次的反復，循序漸進，螺旋上升。隨著學習的深入，學生的認知結構會不斷按“平衡→不平衡→平衡”的模式發展，網絡結點會越來越多，網絡結構會變得越來越復雜。例如，隨著有理數運算、無理數概念的學習，學生會進一步認識和理解負數概念。

（責編 杜 華）