植樹問題新探

植樹問題通常是指沿著一定路線植樹，這條路線總長度被平均分成若干段（間隔），研究間距、間隔數、植樹棵數、總長度這四者之間數量關系的數學問題。植樹路線可以是一條線段，也可以是一條首尾相接的封閉曲線，如長方形、正方形、圓形等。課改后，人教版小學數學教材四年級下冊將植樹問題編入數學廣角，該問題是四年級下冊一個教學難點，目的是培養學生從數學角度運用所學知識和方法解決問題。近年來筆者對植樹問題進行了反復的研究，并在教學中進行嘗試，取得良好效果。

按植樹要求的不同，植樹問題可分為三大類：兩端都植、一端不植、兩端不植。總長÷間距=間隔數，這個關系中三大類都保持不變，而間隔數與所植棵數之間，類型不同，數量關系也不一樣。每一大類模型運用于各種不同情境，又分為幾個小類。下面就分類討論各類植樹問題的解法，并理清它們之間的脈絡。

一、一端不植

4. 穿插植樹

【例5】有一湖周長800米，湖邊每16米植柳樹一棵，在相鄰柳樹之間，又等距離地植了3棵桃樹，有多少棵柳樹？多少棵桃樹？兩棵柳樹之間的桃樹間距是多少？

解：由于是形環路，所以柳樹間隔數為800÷16=50（段），柳樹棵數為50棵，桃樹3×50=150棵。

3棵桃樹，將相鄰兩棵柳樹分隔成3+2-1=4（段），因此桃樹間距為16÷（3+2-1）=4（米）。

二、兩端都植

1.典型例題

5.樓層問題

三、兩端不植

1. 典型例題

2.排隊問題

【例15】遠洋小學六（1）班排隊做早操。一列縱隊中，小明排第6個，小東排第12個，小明和小東之間有幾個同學？

解：第6個和第12個之間有12-6=6（段）間隔，而求小明和小東之間有幾個同學，屬兩端不植情況，相當于植6-1=5（棵）樹，所以有6-1=5（個）同學。

植樹問題可分成三大類，三大類之間有什么內在聯系？每一大類典型例題與各種變式之間又有什么聯系？三大類中總長、間距、間隔數三者數量關系保持不變，先用一一對應思想解決一端不植時植樹棵數與間隔數之間的數量關系，植樹棵數等于間隔數 ；在這基礎上，兩端都植棵數轉化為一端不植時棵數加1，也就是間隔數加1；兩端不植棵數轉化成一端不植時棵數減1，也就是間隔數減1。

各大類中各種變式都可通過畫圖轉化成典型的例題解決。在現實生活、生產和今后的學習中，還有很多不是植樹的但可用畫圖法轉化為典型的植樹問題，并能用植樹問題的模型解決。因此，植樹問題不但體現了抽象思想、推理思想、模型思想，還是一個很好的數學模型。

（責編 金 鈴）