“兩板斧”突破百分數應用題教學難點

百分數的教學歷來是難點，形成這個難點的原因，一是百分數的教學是建立在比和比例的教學基礎上，而比和比例的教學內容對學生來說有一定難度，其思維方法的訓練對于學生也有一定的挑戰。因為此前學生熟悉的加減乘除運算針對的是常數計算，而在比和比例部分已經涉及一個量的變化與另一個量的關系。這個特點在比和比例的應用題中有所體現，而在百分數的應用題中尤其突出，這就使得百分數應用題成為小學數學的教學難點。那么，如何突破這一難點呢？

一、對于常見易錯的基礎題，指導學生學會抓關鍵詞

百分比的應用題中涉及至少兩個變量的關系。既然涉及的關系是變量間的比例，那么抓準涉及兩個變量關系的聯系詞，對于題意的理解尤為重要，也是解決問題的鑰匙所在。相當多的學生做錯問題，就是在審題過程中沒有注意關鍵詞或沒有抓住關鍵詞，對于關鍵詞視而不見，對于誰是比較的標準量、誰是被比較的量沒有認真推敲，造成比例關系出錯。

試看下列這組典型填空題：① 90kg是2噸的（ ）%；②比（ ）千米少20%是50千米；③（ ）小時比40小時多30%；④9.5噸增加（ ）%是1噸。

學生常見的錯解：①2÷90×100%；②50÷20%；③40×30%；④1÷9.5×100%。

如果稍作概括，發現比例應用題的敘述中最典型的句式是：“……甲……比……乙……（多、少、長、短、重、輕……）（……）%”，教師在課堂教學中就應該訓練學生掌握這個典型句式的含義，明確句式中的關鍵詞“比”，點出緊跟“比”字的對象“乙”是被視為比較標準的事物，而“甲”則是被比較的對象，其對應的量被視為標準的對象為名義的“1”、“100%”，如果兩者的比通過除法求得，那么視為標準的乙物體對應的量必須作為除數，被比較的對象甲對應的量則應作為被除數。這里，注意句式“……甲……比……乙……（多、少、長、短、重、輕……）（……）%”的若干變形說法，如：“……甲……是……乙……的（ ）%”， “……甲……（增加、減少）（……）%……是……乙……”。教師在新授課教學中應該通過生活中的實例逐一讓學生通過學習掌握這些典型句型的含義，并明白其中的這些關鍵詞在理解題意中的作用，培養學生抓關鍵詞的習慣與意識。這也有力地促進學生由形象思維逐步適應向初級抽象思維的轉變，這是符合小學高年級學生的心理年齡特征的。

二、對牽涉兩個以上百分比關系的應用題，指導學生分清幾類百分比關系

第一類，同一個量連續變化兩次。在同一個量連續兩次百分比變化的問題中，學生容易把連續變化的兩次誤認為是獨立變化的，進而誤以為第二次變化的基準量（即視為100%的那個量）就是第一次變化前的基準量，極易認為總的變化百分比值就是兩次百分比的和。

典型例題：一種汽車先降價10%，后來經過市場調研后發現，銷量可望再上一個臺階，又繼續降價10%，加大促銷力度，現在的價格只相當于原價的幾折？錯解：100%-10%-10%=80%。 剖析：此類問題學生常見錯解的原因在于認為連續兩次降價的百分比之和就是總的降價結果，而沒有注意到經過第一個百分比變化后的量已經成為第二次百分比變化的新的基準量。這樣，上述問題的解法就應當是：1×（100%-10%）×（100%-10%）=81%。

第二類，涉及同一個計算量的另外兩個量自身發生百分比變化。與同一個量相關的另外兩個量自身分別發生百分比的變化時，這種變化往往是獨立的，相當多的學生把它們混為一談，沒有意識到涉及這兩個量的百分比在代入計算時，應該直接參與發生變化的這兩量的計算過程。當然，要注意區分“和”與 “積”這兩類問題。

典型問題一（和類問題）：商店出售兩件工藝品，玩具筆和玩具小筆刨，其中，小筆刨售價8元，玩具筆售價4元，后來做了調整，筆刨漲價10%，筆降價10%，如果筆刨和筆是成對出售的，問：顧客購買時的單價如何變化？常見錯解：因為筆刨漲價10%，筆降價10%，所以成對出售時總的價格變化的百分比為10%-10%=0；（8+4）×（100%+10%）×（100%-10%）。這兩種解法錯誤的根源都在于沒有意識到，雖然筆刨和筆是成對出售的，但是，筆刨和筆的單價變化確實是獨立的，前述的兩種解法將其混同于同一變量的前后兩次變化。正確解答應為：8×10%=0.8，4×10%=0.4，所以漲價與降價百分比幅度雖然相等，但數量差值幅度不等，最終成對出售時，顧客購買時的單價變化為漲價0.4元。

典型問題二（積類問題）：某超市本月出售的“南國”內衣數量比上月增加了10%，單價降低了10%，則本月營業額比上月變化百分之幾？常見錯解：營業額=數量×單價，所以，本月營業額比上月變化為10%×10%=1%；或1×（100%+10%）-1×（100%+10%）=0，相當于“數量與單價此消彼長”，實際營業額沒有變化。其實這兩種計算方法都是錯的，這兩個10%不能直接加減或乘除，應該作為數量與單價的值參與整體的運算，再求差值，所以，這個問題中求營業額的時候，既然出售的內衣數量與單價是乘積關系，因此實際營業額的變化百分比應該是做如下計算：1×（100%+10%）×1×（100%-10%）=99%，所以，營業額其實是下降了1%。

總結以上內容可以看出，數學教師舞好這“兩板斧”：即對常見易錯基礎題指導學生學會抓關鍵詞；對牽涉兩個以上百分比關系的應用題指導學生分清幾類百分比關系，讓學生掌握好百分比應用題中的變量的邏輯關聯，可以很好解決百分比類的應用題這一教學難點。

（責編 羅 艷）