把握概念本質(zhì) 滲透數(shù)學(xué)思想

概念是思維的基本形式之一，反映客觀事物的本質(zhì)特征。因此，課堂教學(xué)中，教師要突顯數(shù)學(xué)基本概念的核心地位，引導(dǎo)學(xué)生正確理解概念，領(lǐng)悟概念的本質(zhì)內(nèi)涵，使學(xué)生會(huì)運(yùn)用概念進(jìn)行思考、探究和解決問(wèn)題，從而形成數(shù)學(xué)的思想方法。

一、概念的教學(xué)要基于學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)

皮亞杰的建構(gòu)主義理論認(rèn)為，學(xué)生要在已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上建構(gòu)新知識(shí)。而數(shù)學(xué)概念的抽象性更要求基于學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，所以教師要善于引導(dǎo)學(xué)生從原有經(jīng)驗(yàn)、原有的認(rèn)識(shí)中逐步抽象概括出數(shù)學(xué)的形式化定義。如教學(xué)“倍的認(rèn)識(shí)”一課，揭示“倍”概念的方式很多，但新知識(shí)與學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)越接近，學(xué)生就會(huì)越容易理解。因此，這節(jié)課教師可以采用同化的方式引導(dǎo)學(xué)生獲取“倍”的概念，即利用學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中對(duì)“幾個(gè)幾”的理解來(lái)同化“幾的幾倍”。教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生用自己的眼睛去觀察，用自己的語(yǔ)言去表達(dá)，用自己的思考去解讀“倍”的相關(guān)量的共性，使他們真正領(lǐng)悟每份數(shù)、份數(shù)與“幾的幾倍”的關(guān)系，這樣學(xué)生對(duì)“倍”的概念會(huì)建立得更好，理解會(huì)更深刻。

另外，教師在引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念的過(guò)程中，還可以借助豐富的數(shù)學(xué)史資料，展示概念的形成過(guò)程，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)原理不畏艱難的探索過(guò)程。例如，自然數(shù)概念形成的漫長(zhǎng)過(guò)程、不同民族對(duì)自然數(shù)和表示方法的創(chuàng)造、祖沖之對(duì)圓周率的探索過(guò)程等。

二、在數(shù)學(xué)活動(dòng)中引導(dǎo)學(xué)生深刻理解概念的本質(zhì)

所謂對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解是指了解為什么要學(xué)習(xí)這一概念，這一概念的現(xiàn)實(shí)原型是什么，這一概念特有的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、數(shù)學(xué)符號(hào)是什么，這些需要教師循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生理解。如對(duì)一年級(jí)學(xué)生教學(xué)自然數(shù)的概念時(shí)要通過(guò)“數(shù)數(shù)”活動(dòng)，而有些教師認(rèn)為學(xué)生在幼兒園已有“數(shù)數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)了，忽視對(duì)“數(shù)數(shù)”的教學(xué)。其實(shí)，學(xué)前兒童的“數(shù)數(shù)”還大多停留在念歌謠的層面上，對(duì)數(shù)缺乏深刻的認(rèn)識(shí)。沒(méi)有“數(shù)”的過(guò)程，學(xué)生對(duì)數(shù)的理解是不深刻的。因此，教師要先設(shè)計(jì)“數(shù)數(shù)”這一數(shù)學(xué)活動(dòng)，充分挖掘“數(shù)數(shù)”的教育價(jià)值，讓學(xué)生多形式地?cái)?shù)數(shù)。如通過(guò)一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，讓學(xué)生知道某個(gè)集合的數(shù)量；通過(guò)2個(gè)2個(gè)或5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)，豐富學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)；通過(guò)數(shù)列的變化規(guī)律，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)的特征，發(fā)現(xiàn)自然數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律。

數(shù)學(xué)學(xué)科最基本的概念具有本質(zhì)性、概括性，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的導(dǎo)航器，而循序漸進(jìn)的引導(dǎo)是開(kāi)啟學(xué)生思維活動(dòng)的金鑰匙。如吳正憲老師執(zhí)教“10的認(rèn)識(shí)”一課的教學(xué)片斷。

師：下面請(qǐng)同學(xué)們看數(shù)位筒。個(gè)位筒里有幾根小棒，表示什么，是幾？

生1：個(gè)位筒里有1根小棒，表示1個(gè)1，就是1。

師（往個(gè)位筒里放小棒）：心里數(shù)，個(gè)位筒里有幾個(gè)小棒，表示什么，是幾？

生2：個(gè)位筒里有4根小棒，表示4個(gè)1，是4。

（師繼續(xù)往個(gè)位筒里放小棒）

生3：個(gè)位筒里有9根小棒，表示9個(gè)1，是9。

師：再想一想，如果再添上1根小棒，這時(shí)是幾？怎樣表示？

生4：再添上1根小棒是10，可是個(gè)位筒里最多只能放9根小棒，怎么辦呢？

生5：老師，我知道，可以把它們都拿出來(lái)捆成1捆，表示1個(gè)十。

師：這1捆小棒表示1個(gè)十，可以在十位筒里放上1根小棒。（師在個(gè)位筒的左側(cè)又?jǐn)[上了十位筒）十位筒里的這根小棒表示什么意思？

生6：表示1個(gè)十。

生7：這小棒可真神奇啊！放在個(gè)位筒里就表示1個(gè)一，放在十位筒里就表示1個(gè)十。

生8：對(duì)呀！同樣的一根小棒，放在不同的位置表示的意義就不一樣。

……

在教學(xué)自然數(shù)的概念中，理解“位值”是十分抽象的。吳老師借助數(shù)位筒設(shè)計(jì)有趣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生感受到數(shù)的神奇，在潛移默化中滲透位值的概念，是這節(jié)課的成功之處。

又如，關(guān)于100萬(wàn)的教學(xué)，教師應(yīng)設(shè)計(jì)活動(dòng)讓學(xué)生經(jīng)歷100萬(wàn)的形成過(guò)程。可從一個(gè)單位立方體出發(fā)，10個(gè)排成一排，10排疊加構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)方體，10個(gè)長(zhǎng)方體構(gòu)成一個(gè)正方體，即1000；再以這個(gè)正方體作為新單位，10個(gè)一排構(gòu)成萬(wàn)，10排構(gòu)成10萬(wàn)，最后10個(gè)新的正方體構(gòu)成新的立方體，就是100萬(wàn)。課堂教學(xué)中，教師利用豐富的教學(xué)資源，循序漸進(jìn)地讓學(xué)生經(jīng)歷操作探究的活動(dòng)，有效發(fā)展了學(xué)生的數(shù)感。

三、教學(xué)概念時(shí)要關(guān)注數(shù)學(xué)思想的滲透

數(shù)學(xué)思想方法的滲透是一個(gè)循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過(guò)程。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。”如一年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)自然數(shù)概念時(shí)，“數(shù)數(shù)”活動(dòng)中要用到“一一對(duì)應(yīng)”的原則，即每說(shuō)出一個(gè)數(shù)字要對(duì)應(yīng)一物體或手指。“一一對(duì)應(yīng)”是數(shù)學(xué)的重要思想和法則，它能夠建立起事物與事物之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是學(xué)習(xí)函數(shù)思想的基礎(chǔ)。學(xué)生“數(shù)數(shù)”時(shí)，教師要引導(dǎo)他們“有序”地?cái)?shù)，否則就會(huì)漏數(shù)或者重復(fù)數(shù)，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論。這里的“有序”觀察、“有序”思考，也是數(shù)學(xué)的重要思想與方法。

又如，教學(xué)“小數(shù)的意義”時(shí)，教師要給學(xué)生提供豐富的素材，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想理解小數(shù)的意義、小數(shù)計(jì)數(shù)單位及其相鄰進(jìn)率。這樣，借助圖形直觀化、形象化、簡(jiǎn)單化的特點(diǎn)，易于學(xué)生理解與掌握抽象的數(shù)學(xué)概念。

再如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”時(shí)，為了滲透集合思想，教師可以設(shè)計(jì)以下教學(xué)環(huán)節(jié)：把2袋豆子和3袋豆子放入盒子里變成1盒豆子，讓學(xué)生初步感知整體“1”；讓學(xué)生把4個(gè)乒乓球圈起來(lái)，看作一個(gè)整體，手腦并用地認(rèn)識(shí)整體“1”；引導(dǎo)學(xué)生把3個(gè)蘋(píng)果、6個(gè)杯子、12個(gè)果凍等看作一個(gè)整體，并用分?jǐn)?shù)表示部分與整體的關(guān)系……這樣教學(xué)，教師巧妙地滲透把同類(lèi)物體看作一個(gè)整體的思想。

四、拓展數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和應(yīng)用

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又運(yùn)用于生活。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師要注意將數(shù)學(xué)與生活相聯(lián)系，將抽象的數(shù)學(xué)概念具體化、生活化。例如，教學(xué)“年、月、日”時(shí)，可先讓學(xué)生制作年歷卡，自主探究年、月、日的奧秘。然后教師引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)說(shuō)中國(guó)舉辦奧運(yùn)會(huì)的時(shí)間、“神舟七號(hào)”什么時(shí)間成功發(fā)射、給同學(xué)介紹自己的生日等，加深學(xué)生對(duì)年、月、日的理解，使他們感受到數(shù)學(xué)就在自己的身邊。

又如，教學(xué)“方程的認(rèn)識(shí)”時(shí)，為了讓學(xué)生對(duì)方程概念的意義和應(yīng)用有更好的理解，教師可以讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)“方程的故事”，有的學(xué)生用師生的身高關(guān)系編方程，有的學(xué)生用師生的年齡關(guān)系來(lái)編方程……使學(xué)生在大量的現(xiàn)實(shí)情境中抽象和概括方程的定義。

再如，教學(xué)“百分?jǐn)?shù)的意義”一課前，教師組織學(xué)生收集生活中的百分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生經(jīng)歷信息處理、分析的過(guò)程，課上讓學(xué)生在交流中豐富感知，總結(jié)百分?jǐn)?shù)的概念，使原本抽象的概念具體化。為了讓學(xué)生更好地理解百分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)——表示兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，教師可出示果粒橙飲料，讓學(xué)生看看它的橙汁含量是多少（35%），并倒出一部分橙汁到杯子里，問(wèn)現(xiàn)在杯中的果汁含量是多少，然后再倒入一些橙汁繼續(xù)追問(wèn)果汁含量是多少，讓學(xué)生清晰地感受到35%并不是表示具體的數(shù)量，而是表示兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。同時(shí)，由此引出百分?jǐn)?shù)的另外兩個(gè)名稱(chēng)——“百分比”“百分率”，使學(xué)生更加深刻地理解百分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)含義。

五、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)要把握系統(tǒng)性，幫助學(xué)生建立概念網(wǎng)絡(luò)

小學(xué)數(shù)學(xué)的概念教學(xué)是在不同年級(jí)分階段進(jìn)行的，而且同一內(nèi)容在不同階段體現(xiàn)了不同的教學(xué)要求，這種螺旋上升的編排促進(jìn)了學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)特征的抽象概括。可是我們不難發(fā)現(xiàn)，有些教師對(duì)概念教學(xué)目標(biāo)定位存在“越位”或“清空”的現(xiàn)象，缺乏系統(tǒng)思考，前后教學(xué)“脫節(jié)”。例如，教學(xué)五年級(jí)“分?jǐn)?shù)的意義”時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生區(qū)別比較三年級(jí)學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。三年級(jí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”的教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生感受平均分，并且平均分的對(duì)象是一個(gè)物體、一個(gè)圖形；五年級(jí) “分?jǐn)?shù)的意義”的教學(xué)重點(diǎn)不是從平均分的角度理解分?jǐn)?shù)，而是理解分?jǐn)?shù)也可以表示部分與整體的關(guān)系，即“把兩個(gè)（或更多）看成一份”，這是學(xué)生認(rèn)識(shí)上難點(diǎn)。如2/8既可以表示4個(gè)排球中的1個(gè)，也可以表示8個(gè)排球中的2個(gè)。

隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生已有的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)不斷進(jìn)行重組，教師在概念教學(xué)中還應(yīng)通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兓瑤椭鷮W(xué)生建立更為廣泛聯(lián)系的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。例如，將加法唯一地理解為“合并”、減法理解為“去掉”、乘法理解為“重復(fù)的加法”等，這時(shí)學(xué)生所形成的內(nèi)在表征就會(huì)有較大的局限性。一旦數(shù)的概念得到拓展，如乘法由整數(shù)擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)，上面的表征就會(huì)立即造成理解上的困難，因?yàn)檫@時(shí)分?jǐn)?shù)的乘法顯然已不能再看成“重復(fù)的加法”。因此，教師要教會(huì)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，才能拓展學(xué)生的視野，激活學(xué)生的思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。

（責(zé)編 杜 華）