哈師大附中 東北師大附中月考試卷調研

試卷報告

本套試卷是一輪復習即將結束時的一套月考題，題目比較全面地考查了高中數學知識．試題既注重對基礎知識的考查，又突出中學數學的主干知識，注重基本數學思想方法和數學能力以及基本數學素養的考查．整套試卷大致按照由易到難的順序編排，充分發揮了各種題型的考查功能，內容分布也符合考試大綱及其說明的要求. 試卷特意設計了一些難題在不同的位置變化出現，有意訓練學生的考試技巧和心理素質. 根據學生的實際情況，對文科和理科體現了一定的差異.

在試題的具體設計上，如第1、2、4、5、11、12、15、16、17題等著重對基礎知識點進行考查，突出落實基礎的指導思想；第3、13、14、19題在學生易錯點上設置問題，引導學生深入思考；第6、7、8、10、18題等以基礎知識考查為載體，考查了數形結合、函數與方程、分類討論、轉化與化歸等基本數學思想方法，對學生能力的提升指引方向；第20、21等題對運算能力、思維能力進行深入考查，突出函數與導數、概率等主干知識的地位和高要求．

難度系數：★★★

第Ⅰ卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1． 已知集合A=｛x∈Nx－1≤2｝，B=｛xx2－x－6<0｝，那么A∩B等于（ ）

A． ［－1，3］ B． ［－1，3）C． ｛－1，0，1，2｝ D． ｛0，1，2｝

2． （理科）已知復數z滿足：（1+i）z=（1－i）2（其中i為虛數單位），則z的共軛復數■為（ ）

（文科）已知復數z滿足：（1+i）z=（1－i）2（其中i為虛數單位），則復數z為（ ）

3． （理科）設隨機變量ξ～N（1，σ2）（σ>0），若P（ξ>2）=0.2，則P（0<ξ<1）的值為（ ）

（文科）已知命題p：？堝x0∈R，使得sinx0+cosx0=■；命題q：？坌x∈R，都有2x+■>2．則下列結論正確的是（ ）

4． 等差數列｛ａn｝中，a1=1，a2+a3=11，則a4+a5+a6等于（ ）

5． 與圓（x－2）2+y2=2相切，且在兩坐標軸上的截距相等的直線共有

（ ）

6． （理科）已知log2a+log2b≤1，則■+■的最小值為（ ）

（文科）已知函數f（x）=x3+f′（1）x2+f′（2），則函數在點（0，f（0））處的切線斜率為（ ）

7． （理科）函數f（x）=|x|+sinx的零點個數為（ ）

（文科）函數f（x）=x－cosx的零點個數為（ ）

8． （理科）已知α，β，γ是平面，m，n，l是直線，則l⊥γ的一個充分不必要條件是（ ）

（文科）已知log2a+log2b≤1，則■+■的最小值為（ ）

9． （理科）若不等邊銳角三角形的三個內角成等差數列，則最大邊與最小邊的比值的取值范圍是（ ）

A． （1，2） B． （1，3） C． （2，+∞） D． （3，+∞）

（文科）已知動點P（x，y）滿足x－4y+4≥0，x+y≥1，y≥x－2，則x+2y的最小值為（ ）

10． （理科）已知四面體ABCD各頂點都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABC，AB=CD=1，BC=■，則球O的表面積為（ ）

（文科）若不等邊銳角三角形的三個內角成等差數列，則最大邊與最小邊的比值的取值范圍是（ ）

11． （理科）已知動點P（x，y）在第一象限，且滿足lnx≤y≤m，若點P所在區域的面積為1，則實數m的值為（ ）

（文科）已知四面體ABCD各頂點都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABC，AB=CD=1，BC=■，則球O的表面積為（ ）

12． （理科）雙曲線C：x2－y2=a2（a>0）的左、右焦點為F1，F2，若點P在雙曲線上，且滿足PO2=PF1·PF2（其中O為坐標原點），則稱點P為“？犖點”，則下列結論正確的是（ ）

A． 雙曲線C上的所有點都是“？犖點”

B． 雙曲線C上的所有點都不是“？犖點”

C． 雙曲線C上僅有有限個點是“？犖點”

D． 雙曲線C上有無窮多個點（但不是所有點）是“？犖點”

（文科）拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，過點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，且滿足■=2■，則直線l的斜率為（ ）

第Ⅱ卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13． （理科）若（1+x）2+（1+2x）2+（1+3x）2+…+（1+2012x）2=a0+a1x+a2x2，則■=__________．

（文科）已知等比數列｛an｝的前n項和為Sn，若數列｛Sn｝是等差數列，則公比q=__________．

14． 某程序框圖如圖1所示，該程序運行后輸出的P的值是___________．

15． 一個幾何體的三視圖如圖2所示，則該幾何體的體積為___________．

16． （理科）對于函數y=f（x），若存在定義域D內某個區間［a，b］，使得y=f（x）在［a，b］上的值域也為［a，b］，則稱函數y=f（x）在定義域D上封閉． 如果非零函數f（x）=■在R上封閉，那么實數k的取值范圍是_________．

（文科）對于函數y=f（x），若存在定義域D內某個區間［a，b］，使得y=f（x）在［a，b］上的值域也為［a，b］，則稱函數y=f（x）在定義域D上封閉． 如果函數f（x）=－■在R上封閉，那么b－a=___________．

三、解答題：本大題共5小題，滿分60分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17． （本小題滿分12分）

（理科）已知△ABC的面積S滿足1≤S≤■，且■·■=2．

（1）求角B的取值范圍；

（2）若sinB（sinB+cosB）>m恒成立，求實數m的取值范圍．

（文科）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sin2A+2■sinAcosA+3cos2A=3．

（1）求角A的大小；

（2）若a=1，求bc的最大值．

18． （本小題滿分12分）

（理科）某中學生針對本校的男生的身高情況調查了100人，并根據調查數據畫出了樣本頻率分布直方圖（如圖3，每個分組包括左端點，不包括右端點）． 他不小心弄丟了原始數據，而圖中部分數據又弄臟了，但記得第二、三、四組的頻數成等差數列．

（1）求圖中兩個被弄臟的數據；

（2）將頻率視為概率，在該校中隨機抽取4名男生（看作有放回），求身高在［170，180）（單位cm）的人數X的分布列及其數學期望．

（文科）某中學生針對本校的男生的身高情況調查了100人，并根據調查數據畫出了樣本頻率分布直方圖（如圖3，每個分組包括左端點，不包括右端點）． 他不小心弄丟了原始數據，而圖中部分數據又弄臟了，但記得第二、三、四組的頻數成等差數列．

（1）求樣本中在［165，170）（單位cm）的頻數，并求圖中兩個被弄臟的數據；

（2）若該校有男生800人，將頻率視為概率，估計該校中身高不低于180 cm的人數．

19． （本小題滿分12分）

（理科）如圖4，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AB=2，側面PAD是正三角形，且側面PAD⊥底面ABCD．

（1）求證：AD⊥PB；

（2）求點A到平面PBC的距離；

（3）在線段PB上是否存在點M，使得直線AM與平面PBC所成的角為30°． 若存在，求PM的長；若不存在，說明理由．

（文科）如圖5，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AB=2，側面PAD是正三角形，且側面PAD⊥底面ABCD，M是PA的中點．

（1）求證：AD⊥PB；

（2）求三棱錐P-MBC的體積．

20． （本小題滿分12分）

（理科）已知函數f（x）=lnx+■－1（a∈R）．

（1）若a=1，求函數f（x）的極值；

（2）求函數f（x）的單調區間；

（3）證明：■+lnn≤■■≤1+lnn（n∈N*）．

（文科）已知函數f（x）=lnx+■－1（a∈R）．

（1）若a=1，求函數f（x）的極值；

（2）求函數f（x）的單調區間．

21． （本小題滿分12分）

已知橢圓C：■+■=1（a>b>0），過橢圓C右焦點F的直線l交橢圓于A，B兩點，交y軸于P點，設■=m■，■=n■（m，n∈R）． 已知橢圓C上的點到焦點F的最大值與最小值的比值為3+2■．

（1）求橢圓C的離心率；

（2）求證：m+n為定值．

四、選做題：請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分. 做答時請寫清題號.

22． （本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講.

如圖6，四邊形ABCD內接于圓O，且AD是圓O的直徑，DC與AB的延長線相交于點E，OC∥AB．

（1）求證：AD=AE；

（2）若OC=AB=2，求△BCE的面積．

23． （本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數方程.

點P是曲線C1：x=2cosθ，y=sinθ（θ為參數）上的動點，點Q是曲線C2：8ρsinθ=ρ2+12上的動點（其中極點與直角坐標原點O重合，極軸與直角坐標系xOy中x軸正半軸重合，并且兩種坐標系中取相同的長度單位）．

（1）寫出曲線C1，C2在直角坐標系xOy下的普通方程；

（2）求線段PQ長度的最大值．

24． （本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講.

已知函數f（x）=x－a，g（x）=2x+a．

（1）當a=1時，解不等式g（x）>f（x）；

（2）若存在x0，使得g（x0）